Mathematik: Numerik: Bisektion

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Die Bisektion wird auch Intervallhalbierungsverfahren genannt. Hierbei handelt es sich um ein lineares Nullstellenverfahren.

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Vorarbeit

  • Man legt ein Intervall I=[a,b] fest in dem die Funktion stetig verläuft und f(a) und f(b) unterschiedliche Vorzeichen haben.
  • Des Weiteren wird ein Wert ε festgelegt, welcher die geforderte Genauigkeit der Nullstelle festlegt.

[Bearbeiten] Rechenschema

  • 1. Die Mitte (c) von a und b wird berechnet: c= \frac{a+b}2
  • 2. Funktionswert an der Stelle c wird berechnet: f(c)
  • 3. Ein neues Intervall wird gewählt. c ersetzt dasjenige Element welches das gleiche Vorzeichen hat.
  • 4. Wenn (b-a)>=2ε geht´s weiter mit 1.

[Bearbeiten] Beispiel

f(x)=x^3 \qquad I=[-1,2]\qquad => a=-1; b=2 ε<0,8

c=\frac{(-1)+2}2 = \frac{1}2

f(c)=(\frac{1}2)^3 = \frac{1}8

da f(c) positiv ist, wird b=c. Das neue Intervall lautet jetzt I=[-1,\frac{1}2]

ist ε< 2*(b-a) ? -> Nein, also weiter:

c=\frac{(-1)+\frac{1}2}2 =- \frac{1}4

f(c)=(-\frac{1}4)^3 = -\frac{1}{64}

da f(c) negativ ist, wird a=c. Das neue Intervall lautet jetzt I=[-\frac{1}{4},\frac{1}2]

ist ε< 2*(b-a) ? -> Nein, also weiter:

c=\frac{(-\frac{1}{4})+\frac{1}2}2 =\frac{1}8

f(c)=(\frac{1}8)^3 = \frac{1}{512}

da f(c) positiv ist, wird b=c. Das neue Intervall lautet jetzt I=[-\frac{1}{4},\frac{1}8]

ist ε< 2*(b-a) ? -> Ja, d.h. die Lösung lautet: Die gefundene Nullstelle liegt im Intervall I=[-\frac{1}{4},\frac{1}8]

[Bearbeiten] Anmerkung

In der Praxis wird meist ein ε in der Größe der Maschinengenauigkeit gewählt. Diese beträgt 10 − 16 .

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