Mathematik: Numerik: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen
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Es existieren zahlreiche Verfahren zur numerischen Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen. Diese können in
- Einschrittverfahren und
- Mehrschrittverfahren
unterschieden werden. Ein Einschrittverfahren verwendet immer nur die Information aus dem aktuellen Zeitschritt. Mehrschrittverfahren greifen dagegen auch auf Informationen vergangener Zeitschritte zurück. Voraussetzung für die meisten Verfahren ist, dass eine gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung der Form
vorliegt.
[Bearbeiten] Euler-Verfahren
Das Euler-Verfahren (oder Euler'sches Polygonzugverfahren) ist das Einfachste der Einschrittverfahren. Um es herzuleiten wird der Differentialquotient durch einen Vorwärtsdifferenzenquotienten approximiert, die kontinuierlichen Variablen t und x werden durch zeitdiskrete Variablen tk und xk ersetzt:
Durch Auflösen dieser Gleichung nach xk + 1 erhalten wir die Iterationsvorschrift der Euler-Verfahrens:
h wird Schrittweite genannt und der neue Zeitpunkt tk + 1 ergibt sich daraus zu
tk + 1 = tk + h
[Bearbeiten] Beispiel
| Iterationsschritt k | Zeit tk | num. Lösung xk | exakte Lösung |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 | |
| 1 | 0,1 | 0,9 | 0,9048 |
| 2 | 0,2 | 0,81 | 0,8187 |
| 3 | 0,3 | 0,729 | 0,7408 |
| 4 | 0,4 | 0,6561 | 0,6703 |
| 5 | 0,5 | 0,5905 | 0,6065 |
| 6 | 0,6 | 0,5314 | 0,5488 |
| 7 | 0,7 | 0,4783 | 0,4966 |
| 8 | 0,8 | 0,4305 | 0,4493 |
| 9 | 0,9 | 0,3874 | 0,4066 |
| 10 | 1,0 | 0,3487 | 0,3679 |
Wir betrachten die Differentialgleichung
mit der Anfangsbedingung x(0) = 1. Die exakte Lösung dieser Gleichung lautet übrigens x(t) = exp( − x). Die Iterationsvorschrift lautet dann für die gegebene Gleichung:
Als Schrittweite wählen wir h = 0,1. Mit x0 = 1 aus der Anfangsbedingung können wir nun einen ersten Iterationsschritt durchführen:
Verwenden wir nun das so erhaltene x1, so können wir gleich den nächsten Iterationsschritt durchführen, u.s.w.
In der Tabelle rechts sind die numerischen Lösungen für die ersten 10 Iterationsschritte dargestellt. Zum Vergleich ist dort auch jeweils die exakte Lösung zum jeweiligen Zeitpunkt gegeben. Um die numerischen Ergebnisse weiter zu verbessern kann die Schrittweite verringert werden. Allerdings steigt damit natürlich auch der Rechenaufwand weiter an.
