Mathematik: Numerik: Numerik partieller Differentialgleichungen: Die Finite Elemente Methode

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1 Die Finite-Elemente-Methode

[Bearbeiten] Die Finite-Elemente-Methode

[Bearbeiten] Problemstellung

Dieser Abschnitt beschreibt am Beispiel der stationären Reaktions-Diffusionsgleichung

$\alpha \triangle u+u = f \quad in\ \Omega$

$u = 0, \quad u\in\ \Gamma,$

wie elliptische Randwertprobleme mit der Finite-Elemente-Methode gelöst werden.

[Bearbeiten] Variationsformulierung

Nach Multiplikation dieser Gleichung mit einer Testfunktion $v\in C_{0}^{\infty}(\Omega)$ und Integration über $Ω$ erhält man

$\alpha \int_{\Omega} \triangle u\ v\ dx + \int_{\Omega} u \ v \ dx = \int_{\Omega}f\ v\ dx$

Anwendung partieller Integration und des Gauß'schen Integralsatzes auf den ersten Term resultiert in

$\alpha\int_{\Gamma}div(v\nabla u)\ dx-\alpha\int_{\Omega}\nabla u\cdot\nabla v\ dx+\int_{\Omega}u\ v\ dx = \int_{\Omega}f\ v\ dx$

Das Randintegral verschwindet, weil für jede Testfunktion $v | Γ = 0$ ist. Für die Lösung $u$ gilt also:

$a(u,v) = l(v) \ \ \ \forall v\in V$

mit

$a:V\times V\rightarrow\mathbb{R}$

$l:V\rightarrow R$

$a(u,v)=\int_{\Omega}-\alpha(\nabla u\cdot\nabla v+uv) d x\ bzw.\ l(v)=\int_{\Omega}f\ v\ d x,$

Dies wird auch als schwache Formulierung bezeichnet, weil u nur einmal, und nicht zweimal differenzierbar sein muss. V ist hier eine Untermenge des Sobolevraums $H 1$ .

$V=\{ v\in H^{1}(\Omega):v=0\ auf\ \Gamma\}$

Die Bilinearform ist symmetrisch, stetig und koerziv. $H_{0}^{1}(\Omega)$ induziert die Energienorm

$\| u\|_{E}=\sqrt{a(u,u)}$

[Bearbeiten] Ritz-Galerkin-Verfahren

Aus der Variationsformulierung lassen sich Finite-Elemente-Verfahren ableiten. Bei dem Ritz-Galerkin-Verfahren wird zur Bestimmung einer Approximation $u h$ V auf einen endlichdimensionalen Teilraum $V h$ mit Basis $ψ 1,...,ψ N$ wird dann zu

finde $\ u_{h}\in V_{h}$ , so dass $a(u_{h},v)=l(v)\quad\forall\ v\in V_{h}$

Das Problem ist äquivalent zur Lösung eines linearen Gleichungssystems. Setzt man die Reihenentwicklung

$u_{h}=\sum_{i=1}^{n}c_{i}\psi_{i}$

in die vorige Gleichung ein, wobei man $v = ψ j$ wählt, dann erhält man

$\sum_{j=1}^{n}c_{i}a(\psi_{i},\psi_{j})=l(\psi_{i}),\qquad i=1,...,n.$

Das lineare Gleichungssystem für die Koeffizienten $c i$ lautet abgekürzt

$A\ c=l$

mit der sog. Steifigkeitsmatrix $\tilde{A}$ und dem Ladevektor l, wobei

$A_{i,j}=a(\psi_{i},\psi_{j}),\qquad l_{i}=l(\psi_{i})\qquad i=1,...,n$

Ist a koerziv auf V, dann auch auf $V h$ , und das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar.

Das Céa-Lemma zeigt die Optimalität von $v h$ : Die Bilinearform $a(\cdot,\cdot)$ erfülle

$a(u,u)\geq\alpha\| u\|_{V}^{2}\ und\ |a(u,v)|\leq C\| u\|_{V}\| v\|_{V}\quad\forall u,v\in V$

u und $u h$ seien Lösungen der Variationsaufgaben. Dann gilt:

$\| u-u_{h}\|_{V}\leq\frac{C}{\alpha}\inf_{v\in V_{h}}\| u-v\|_{V}$

[Bearbeiten] Finite-Elemente-Methode

Ein spezielles Ritz-Galerkin-Verfahren ist die Finite-Elemente-Methode (FEM). Dabei wird das Gebiet $Ω$ in einfache Teilgebiete $K i, i = 1,..., n$ aufgeteilt. Häufig wählt man Dreiecke (im Fall d=2) oder Tetraeder (d=3). Die Triangulierung $\mathcal{T}_{h}$ muss zulässig sein, das heißt zwei Elemente T und T sind entweder disjunkt oder sie schneiden sich an einer Ecke oder einem Knoten. $\Omega=\cup_{i=1}^{m}K_{i},\quad K_{i}\cap K_{j}=\varnothing\ (i\neq j)$ Die Finite-Elemente-Methode wählt die Basis $ψ 1,...,ψ n$ und den Raum $V h$ so, dass möglichst viele Einträge in A verschwinden, denn dann kann das Gleichungssystem effizient gelöst werden. Wenn die Basisfunktionen einen kleinen Träger haben, überschneiden sich die Träger nur weniger Basisfunktionen, und die Matrix A ist dünn besetzt.

Von der Wahl des Raumes $V h$ hängt die Approximationsgüte ab. Meistens werden stückweise definierte Polynome vom Grad k genommen, also

$V_{h}=\bigcup_{i=1}^{m}\mathbf{P}_{k}(T_{i}),$

wobei

$\mathcal{P}_{k}(T_{i}):=\{ v\in W^{1,2}(\Omega)\ \mbox{mit}\ v|_{T_{i}}\in P_{k}(T_{i})\ \mbox{und}\ v(x)=0\ \mbox{fuer}\ x\in\Omega\backslash T_{i}\}$

Die einfachsten Ansatzfunktionen sind Hutfunktionen, die erstmals 1943 von Courant verwendet wurden. Diese stückweise linearen Funktionen erfüllen die Lagrange-Eigenschaft

$\psi_{i}(x_{j})=\delta_{ij}\,$

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