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[Bearbeiten] Polynominterpolation

Bei der Polynominterpolation versucht man aus gegebenen Stützstellen eine unbekannten Funktion mithilfe von Polynomen möglichst genau zu interpolieren.

[Bearbeiten] Problemstellung

Gegeben sind die Stützstellen $x_0, ... \ , x_n\,$ mit den Funktionswerten $y_0, ... \ , y_n\,$ . Wir suchen ein Polynom $p_n(x)=a_0+a_1 x + a_2 x^2 ... + a_n x^n= \sum_{k=0}^n a_k x^k \,$ , so dass die Interpolationsbedingungen $p_n(x_k)=y_k \,$ erfüllt sind. Wir suchen also möglichst gute Werte für $a_k\,$ .

Man kann dieses Problem auch mit einem Gleichungssystem beschreiben:

$\begin{pmatrix} 1 & x_0 & \cdots & x_0^n \\ 1 & x_1 & \cdots & x_1^n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n & \cdots & x_n^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_0 \\ y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}$

Dieses Gleichungssystem ist lösbar, wenn gilt: $x_i \ne x_j \,$ für alle $i \ne j \,$ . Allerdings sieht man sofort, dass die Auflösung dieses Gleichungssystems sehr viel Rechenkapazität in Anspruch nimmt, besonders für grosse n. Man muss nämlich jede Stützstelle potenzieren und das System auch noch auflösen. Wie wir sehen werden, gibt es effizientere Methoden.