Mathematik: Schulmathematik: Planimetrie: Dreieckskonstruktion: Dreieck aus drei Höhen

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Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Vorüberlegung

Aus den drei Höhen lässt sich ein Dreieck nicht so ohne weiteres konstruieren. Man kann aber folgende Vorüberlegung anstellen: Die Fläche jedes Dreiecks ist Seitenlänge x Höhe / 2 und zwar für jede Seite gleich. Deshalb besteht ein Zusammenhang zwischen Seitenlängen und Höhen.

(1)   A = \frac{{a \cdot h_a }}{2} = \frac{{b \cdot h_b }}{2} = \frac{{c \cdot h_c }}{2}

und damit

(2)   a \cdot h_a = b \cdot h_b = c \cdot h_c

Dreieck-hoehen-1.png

Man kann nun in einem beliebigen Dreieck von C aus auf der Seite b die Höhe ha und auf der Seite a die Höhe hb antragen (siehe Skizze)


nach (2) als Verhältnisgleichung ist

(3)   \frac{a}{{h_b }} = \frac{b}{{h_a }}   und   (3a)   \qquad \frac{c}{b} = \frac{{h_b }}{{h_c }}


und damit muss nach dem Strahlensatz die Verbindungslinie d parallel zu c laufen. Weiter ist dann nach dem Strahlensatz

(4)   \frac{d}{c} = \frac{{h_a }}{b}

(4a)   d = h_a \cdot \frac{c}{b}

(3a) in (4a) eingesetzt:

(4b)   d = \frac{{h_a \cdot h_b }}{{h_c }}

Damit sind für das Hilfsdreieck CDE die drei Seiten bekannt und ist nach dem Kongruenzsatz SSS konstruierbar.

Es empfiehlt sich, die kürzeste Höhe als hc zu verwenden. Dadurch fällt bei einem rechtwinkligen Dreieck die Seite d mit Seite c zusammen. Dann gilt:


(5)   h_a^2 + h_b^2 = \left(\frac{h_a \cdot h_b}{h_c} \right)^2

[Bearbeiten] Dreieckskonstruktion

[Bearbeiten] Teil 1: Konstruktion der Strecke d mit dem Strahlensatz

DreieckHHH-1.svg


  1. Zeichne eine Gerade g1 und trage SG = hc ab.

  2. Konstruiere mit dem Zirkel den Punkt H in einem Abstand von SH = hc und GH = hb.

  3. Zeichne das gleichschenklige Dreieck Δ GSH.

  4. Trage auf beiden Schenkeln die Strecken SK = SL = ha ab.

  5. Die Strecke KL = d hat die Länge d = ha · hb / hc.

[Bearbeiten] Teil 2: Konstruktion des Dreiecks

DreieckHHH-2.svg


  1. Zeichne um ein Ende der Strecke DE = d (Punkt D) einen Kreisbogen mit dem Radius ha und um das andere Ende (Punkt E) einen Kreisbogen mit dem Radius hb. Es entstehen zwei zur Strecke d symmetische Schnittpunkte (C und H).

  2. Zeichne die Geraden CD und CE.

  3. Fälle das Lot von C auf d durch Verbinden der Punkte C und H.

  4. Trage auf dieser Lotgerade von C aus die Strecke hc ab (Endpunkt G).

  5. Konstruiere zur Strecke DE = d eine parallele Gerade im Abstand FG.
    1. Ermittle dazu zuerst mit dem Zirkel den Schnittpunkt eines Bogens um E mit dem Radius FG und eines Bogens um Punkt F mit dem Radius EG
    2. Verfahre mit einem Bogens um D mit dem Radius FG und einem Bogen um F mit dem Radius DG genauso.
    3. Verbinde die so gewonnenen Punkte mit einer Geraden.

  6. Die Schnittpunkte dieser Gerade mit den Geraden CD und CE bildet das gesuchte Dreieck Δ ABC.

[Bearbeiten] Durchführbarkeit der Konstruktion

Die beschriebene Konstruktion ist offenbar genau dann durchführbar, wenn CDE konstruiert werden kann. Dies ist genau dann der Fall, wenn \tfrac1{h_a}+\tfrac1{h_b}>\tfrac1{h_c} usw. gilt, was aber laut Vorbemerkung auch notwendig ist.

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