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Mathematik: Schulmathematik: Prozentrechnung

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[Bearbeiten] Begriffsklärung

Die Prozentrechnung ist ein Bestandteil der Bruchrechnung, wobei jede Prozentangabe auf 100 bezogen wird. 1% entspricht also dem 1/100 (einhundertsten) Teil einer Zahl. Der Begriff kommt aus dem Lateinischen. Pro Cent heißt übersetzt: von hundert.

100 ist die Gesamtmenge, um die es geht. Hat man also z.B. 300 Schüler sind das 100%. Will man nun 10% davon berechnen, sind das 10 Teile von der Gesamtmenge (10 von hundert), also 1/10 (ein zehntel) von der Gesamtmenge. Im Beispiel sind also 10% von 300 Schülern 30 Schüler.

Am einfachsten rechnet man das mit dem sogenannten Dreisatz. Dazu teilt man die Gesamtmenge durch 100 (300 Schüler / 100 = 3 Schüler). Das Zwischen-Ergebnis ist 1% (1 % = 3 Schüler) Um jetzt 10% zu berechnen, wird das Zwischen-Ergebnis mit 10 multipliziert. 3 Schüler mal 10 = 30 Schüler. 10% von 300 Schülern sind also 30 Schüler.

Info: Das selbe Prinzp gibt es bei "Promille" (wird z.B. beim Alkoholgehalt im Blut benutzt). Da wird alles auf 1000 bezogen (Lateinisch: Pro Mille = von tausend) 2 Promille schreibt man: 2‰

[Bearbeiten] Beispiele

  • 5% von 100 ist 5
  • 5% von 120 ist 6
  • 5% von 123 ist 6,15
  • 100 + 5%(von 100) = 100 + 5 = 105
  • 120 + 5%(von 120) = 120 + 6 = 126
  • 120 - 5%(von 120) = 120 - 6 = 114

[Bearbeiten] Symbolik

G 
Grundwert
W 
Prozentwert
p 
Prozentsatz

[Bearbeiten] Gleichung

Die Grundgleichung ist:
{W \over G} = {p \over 100}

[Bearbeiten] Beispiele

Berechne 10% von 100. 
gegeben ist:
 G = 100
 p = 10 
gesucht wird: 
 W
Dann kann man so rechnen:

 {W \over G} = {p \over 100}
 
wird zu:

 W =  {p \over 100 }G=  {{10 \times 100} \over 100 } = 10
 

 \underline {W =  10} , also: 10% von 100 ist 10

Wieviel Prozent sind 10 von 100? 
gegeben ist:
 G = 100
 W = 10 
gesucht wird: 
 p
Dann kann man so rechnen:

 {W \over G} = {p \over 100}
 
wird zu:

 p =  {W \over G} 100 =  {{10 \times 100} \over 100 } =10
 
\underline {p = 10}, also: 10 ist 10% von 100



40% von einem Betrag sind 60. Wieviel sind dann 50% von diesem Betrag? 
Gegeben ist:
 
   p_1 = 40 \,
  
 
   p_2 = 50\,
  
 
   W_1 = 60\,
  
 
   G_1 = G_2 = G\,
  
gesucht wird: 
 
  W_2\,
  
 
Dann kann man so rechnen:

 {W_1 \over p_1} = {G \over 100}
 

 {W_2 \over p_2} = {G \over 100}
 
wird zu:

 {W_1 \over p_1} = {W_2 \over p_2}
 
wird zu:

 W_2 =  {{W_1 p_2} \over p_1 }=  {{60 \times 50} \over 40 } = 75
 

 \underline {W_2 =  75}

Schneller geht es so:

40% gibt 60, also wird
50% = \frac{50}{40} \times 40%
\frac{50}{40} \times 60 = 75 geben.


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