Mathematik: Schulmathematik: Wurzelrechnung
Aus Wikibooks
Wurzelrechnung ( Radizieren )
In der Potenzrechnung waren bisher Basis und Exponent bekannt, der Potenzwert sollte ausgerechnet werden. Beim Radizieren stellt sich allerdings die Frage, welche Zahl ins Quadrat gehoben werden muss, um z.B. den Zahl 9 zu erhalten. D.h., dass die Basis x diesmal unbekannt ist.
Inhaltsverzeichnis |
[Bearbeiten] Formales
Die einfachste Wurzel, die Quadratwurzel, wird wie folgt geschrieben:
und bedeutet eine Zahl, deren Quadrat gleich a ist, also:
Weil ein Quadrat nicht negativ ist, kann man nur Quadratwurzeln aus nicht-negativen Zahlen ziehen.
Es gibt auch Wurzeln mit höheren Exponenten, z.B. mit Exponenten 3, Kubikwurzel oder dritte Wurzel genannt:
![\sqrt[3]{a}](http://upload.wikimedia.org/math/7/f/5/7f552661c061361dbc630fb4077f0711.png)
mit der Bedeutung:
![(\sqrt[3]{a})^3=a.](http://upload.wikimedia.org/math/2/b/5/2b56d04c64401aac038d71c54c5e22a3.png)
![\sqrt[3]{8}=2](http://upload.wikimedia.org/math/2/6/8/268cbbda2dd912ea7e14c0527757ad39.png)
Hier darf a negativ sein:
![\sqrt[3]{-8}=-2.](http://upload.wikimedia.org/math/1/d/4/1d45af3fc6dc16ad39a84db19e126936.png)
Allgemein schreibt man mit Wurzelexponent n:
![\sqrt[n]{a}](http://upload.wikimedia.org/math/9/a/2/9a2b6d33f3d62a1e8bd99c76f3cb79f5.png)
fur den n-te Wurzel aus a, mit der Bedeutung:
![(\sqrt[n]{a})^n=a.](http://upload.wikimedia.org/math/e/1/5/e15312ca74d335c44fa4a411545ded2c.png)
Hat der Wurzelexponent den Wert 2, so lässt man ihn meistens weg.
Jede Wurzel kann durch eine Potenz mit gebrochenem Exponenten dargestellt werden:
![\sqrt[n]{a^x}=a^\frac{x}{n}](http://upload.wikimedia.org/math/b/0/3/b031c62021ce5335a987184f9cb1da87.png)
[Bearbeiten] Rechenregeln beim Radizieren
Es gibt verschiedene Rechenregeln, um Wurzelgleichung ggf. zu vereinfachen oder zu lösen. Hierbei gelten immer die Grundrechenregeln der Mathematik.
[Bearbeiten] Addieren und Subtrahieren von Wurzeln
Man kann nur Wurzeln mit gleichen Exponenten und Radikanten zu einem Glied zusammenfassen. Diese werden addiert oder subtrahiert, indem man ihre Koeffizienten addiert oder subtrahiert.
![a\sqrt[n]{x} + b\sqrt[n]{x} = (a + b) \sqrt[n]{x}](http://upload.wikimedia.org/math/6/6/5/6651684c1feb98e42d63e567190ac234.png)
![a\sqrt[n]{x} - b\sqrt[n]{x} = (a - b) \sqrt[n]{x}](http://upload.wikimedia.org/math/b/9/1/b91d18c630b788f7a3d648ec6202f83b.png)
[Bearbeiten] Radizieren von Produkten
Das Produkt der Radikanten zweier oder mehrerer Wurzeln mit gleichem Exponenten darf getrennt oder
oder zusammengefasst werden.
![\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}](http://upload.wikimedia.org/math/a/7/a/a7a822f128f5b4a3ef0f46b1f61b5af4.png)
Beispiel :
![\sqrt[2]{4 \cdot 16 } = \sqrt[2]{4} \cdot \sqrt[2]{16} = 2 \cdot 4 = 8](http://upload.wikimedia.org/math/c/2/e/c2ec858290a06d241cbd554f5ba9bd93.png)
ist aber auch das selbe wie
![\sqrt[2]{4 \cdot 16 } =\sqrt[2]{64}= 8](http://upload.wikimedia.org/math/0/5/f/05f8b73e07f5cb70a58551e53fc8eac3.png)
ebenfalls gilt folgender Ausdruck :
![a\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^n} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^n \cdot b }](http://upload.wikimedia.org/math/8/1/8/818e5e5fed66db2430da1df636e0772e.png)
Beispiele :
![2\sqrt[3]{5}=\sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{5}=\sqrt[3]{8 \cdot 5 }=\sqrt[3]{40}](http://upload.wikimedia.org/math/5/8/3/583ccf41bb8555a69e8988d7e07a4e33.png)
![\sqrt[4]{162}=\sqrt[4]{81 \cdot 2 }=\sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{2}=\sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{2}=3\sqrt[4]{2}](http://upload.wikimedia.org/math/b/f/8/bf84a5df333550aae3d28e0aaaab414e.png)
[Bearbeiten] Radizieren von Quotienten ( Brüchen )
Man kann einen Bruch radizieren, in dem man aus Zähler und Nenner die Wurzel zieht und die Wurzelwerte dividiert.
![\sqrt[n]{\frac {a}{b}}= \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}](http://upload.wikimedia.org/math/1/f/4/1f4d644990684b5a463e6c935d176c5a.png)
[Bearbeiten] Radizieren von Potenzen
Eine Potenz kann radiziert werden, indem man die Wurzel aus der Basis zieht und den Wurzelwert anschließend mit dem Exponenten potenziert.
![\sqrt[n]{a^x}=(\sqrt[n]{a})^x](http://upload.wikimedia.org/math/5/9/1/591f737db474450e91d896ac826aa4a5.png)
Des Weiteren darf man den Wurzel- und Basisexponenten nach belieben kürzen und erweitern.
![\sqrt[bn]{a^{bx}}=\sqrt[n]{a^x}](http://upload.wikimedia.org/math/c/3/5/c35c953ff48eaf8061a3576b80494e7f.png)
[Bearbeiten] Radizieren von Wurzeln
Eine Wurzel wird radiziert, indem man die Wurzelexponenten multipliziert.
![\sqrt[n]{\sqrt[x]{a}}=\sqrt[nx]{a}](http://upload.wikimedia.org/math/c/c/5/cc55bdca664b31af002d308df903a723.png)
Die Wurzelexponenten dürfen auch vertauscht werden.
![\sqrt[n]{\sqrt[x]{a}}=\sqrt[x]{\sqrt[n]{a}}](http://upload.wikimedia.org/math/5/0/7/5075cdd0c00659b1ad779634bd7abf9c.png)
[Bearbeiten] Vorzeichenregeln beim Radizieren
Wenn Wurzelexponent gerade und der Radikant positiv ist, so ist das Ergebnis immer positiv.
![\sqrt[2n]{a}=b](http://upload.wikimedia.org/math/c/5/a/c5ae6baf97d7a202ca575d00eb312b91.png)
Ist der Wurzelexponent ungerade, so hat das Ergebnis immer das Vorzeichen des Radikanden.
aber
![\sqrt[2n-1]{-a}= -b](http://upload.wikimedia.org/math/1/5/d/15dcf305091ade14071eb19785724784.png)
Eine Wurzel mit geraden Wurzepexponenten aus einer negativen Zahl ist für reelle Zahlen unlösbar.
Diese kann nur mit Hilfe einer neuen Zahlenart (komplexe Zahlen, bestehen aus einem reellen und einem imaginären Anteil) dargestellt werden werden:
Für die imaginären Einheit i setzt man 
bzw. i2 = − 1
![\sqrt[]{-a}=i \,\sqrt[]{a}](http://upload.wikimedia.org/math/2/6/b/26b8f073ff2053bb5b825a62396c4ac2.png)
