Mathematik: Statistik: Diskrete Zufallsvariablen

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Eine Zufallsvariable ist diskret, wenn sie in jedem beschränkten Intervall nur endlich viele Ausprägungen annehmen kann. Die diskrete Zufallsvariable kann endlich oder abzählbar unendlich viele Werte xi ( i = 1,2,..., m bzw. i = 1,2,... ) annehmen.

Beispiele

  • Zahl der Schadensleistungen, die in einem Jahr bei einer Versicherung auftreten
  • Kinderzahl von Konsumenten
  • Zahl der defekten Kondensatoren in einem Fertigungslos

Ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion ist

P(X = x) = f(x) = \begin{cases} f(x_i) & \mbox{für } x = x_i \\ 0 & \mbox{sonst} \end{cases}

Es gilt

\sum_{i=1}^m f(x_i) =1 \;.

Die Verteilungsfunktion P(X ≤ a) = F(a) ist die Summe aller Wahrscheinlichkeiten f(xi) für xi ≤ a.

Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen ist der Durchschnitt des Auftretens ihrer Realisationen. Bei einer diskreten Zufallsvariablen beträgt er

EX =\sum_{i} x_i f(x_i) \;,

falls EX existiert, d.h. nicht unendlich wird.

Die Varianz einer diskreten Zufallsvariablen berechnet sich als

\operatorname{Var}\,X =\sum_{i} (x_i-EX)^2 f(x_i) \;.

Nach dem sog.Verschiebungssatz ist auch

\operatorname{Var}\,X =(\sum_{i}x_i^2 f(x_i))- (EX)^2 \;,

im Beispiel:

\operatorname{Var}\,X = 30^2 \cdot 0{,}4 + 50^2 \cdot 0{,}3 + 60^2 \cdot 0{,}2 + 100^2 \cdot 0{,}1 - 49^2 = 360 + 750 + 720 + 1000 - 2401 = 429\;.


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