Mathematik: Statistik: Lineare Funktionen der Normalverteilung

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Linearkombinationen normalverteilter Zufallsvariablen

Gegeben sind n normalverteilte Zufallsvariablen Xi (i = 1, ... , n), mit Xi ∼ N(μi;σi2). Die Linearkombination (lineare Funktion)

Y = a_0 + a_1X_1 + a_2X_2 + ... + a_nX_n = a_0 + \sum_{i=1}^n a_iX_i

ist ebenfalls normalverteilt (Reproduktivität der Normalverteilung), und zwar mit dem Erwartungswert

EY = a_0 + \sum_{i=1}^n a_iEX_i = a_0 + \sum_{i=1}^n a_i \mu_i

und, falls die Xi (i = 1, ... , n) stochastisch unabhängig sind, mit der Varianz

\operatorname{var}Y = \sum_{i=1}^n a_i^2 \operatorname{var}X_i = \sum_{i=1}^n a_i^2 \sigma_i^2 .

Da die Varianz jedoch echt größer Null sein muss, muss zudem a_j \ne 0 für mindestens ein j \in \{1,\dots, n\} gefordert werden.

Verteilung des Stichprobendurchschnitts

Sind speziell die n Zufallsvariablen Xi (i = 1, ... , n) sämtlich normalverteilt mit gleichem μ und gleichem σ2, ist die Linearkombination X mit a0 = 0, a1 = a2 = ... = an = 1/n, also

\bar X = \frac {1}{n} \sum_{i=1}^n X_i

normalverteilt dem Erwartungswert

E \bar X = \frac {1}{n} \sum_{i=1}^n \mu = \mu

und, falls die Xi (i = 1, ... , n) stochastisch unabhängig sind, mit der Varianz

\operatorname{var} \bar X = \frac {1}{n^2} \sum_{i=1}^n \sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n} .

Beispiel

Die Firma Ziemlich&Unbekannt produziert die Güter Ix und Ypsi. Die monatliche Produktionsmenge schwankt zufällig, so dass für die produzierten Mengen die Zufallsvariablen definiert werden: X und Y [ME]. Man weiß:

X ∼ N(20;5) und Y ∼ N(100;10).

Es wird vermutet, dass X und Y stochastisch unabhängig sind.

Wir interessieren uns für die monatlichen Gesamtkosten K in Crœtos (C):

Die monatlichen Fixkosten betragen a = 10.000 C, die variablen Kosten für X: b = 500 C und für Y: c = 200 C.

Die monatlichen Gesamtkosten können also dargestellt werden als

K = a + bX + cY = 10000 + 500X + 200Y.

Wie ist also K verteilt? Wegen der Reproduktivitätseigenschaft der Normalverteilung müsste K wieder normalverteilt sein. Seine Parameter sind

EK = a + b EX + c EY = 10.000 + 500·20 + 200·100 = 40.000

und

varK = b2varX + c2varY = 5002·5 + 2002·10 = 1.650.000.

Also ist K ∼ N(40.000; 1.650.000).

Mit welcher Wahrscheinlichkeit entstehen der Firma Gesamtkosten von mindestens 42.000 C?

Es ergibt sich

\begin{matrix} P(K \ge 42000) &=& 1 - P(K \le 42000) &=& 1 - \Phi_z ( \frac {42000 - 40000} { \sqrt {1650000} } ) \\ &=& 1 - \Phi_z(1{,}57) &=& 1 - 0{,}9418 = 0{,}0582 . \end{matrix}


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