Mathematik: Statistik: Poissonverteilung

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Wir betrachten eine poissonverteilte Zufallsvariable X mit den Ausprägungen 0, 1, 2, ....

Typische Beispiele für eine poissonverteilte Zufallsvariable sind:

  • Es betreten in einer Minute durchschnittlich λ = 2 Kunden einen Kassenschalter. Wir definieren als X: Zahl der Kunden, die während einer bestimmten Minute an den Bankschalter kommen.
  • Die Studentin Paula kauft sich in der Cafeteria ein Stück Rührkuchen. Wir definieren als X: Zahl der Rosinen in diesem Kuchenstück. Der Bäcker rechnet bei 20 Stück Kuchen mit 100 Rosinen. X ist also poissonverteilt mit dem Parameter λ = 5.
  • Wir definieren als X: Zahl der Schadensfälle einer Versicherung im nächsten Jahr. Man weiß, daß pro Jahr durchschnittlich 500 000 Schadensfälle auftreten. Der Parameter ist hier λ = 500 000.

Man geht also typischerweise von den folgenden Fragestellungen aus: Anzahl des Auftretens eines Phänomens in einer Zeit- , Gewichts- oder sonstigen Einheit. Die Zufallsvariable X ist poissonverteilt mit dem Parameter λ.


Ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet (λ > 0)

P(X=x) = p(x | \lambda ) = \begin{cases} \frac { e^{ - \lambda } \cdot \lambda^{x} }{ x! } & \mbox{ für x = 0, 1, ... } \\ 0 & \mbox{ sonst} \end{cases}


Die Verteilungsfunktion P(X≤a) = Px(a|λ) ergibt sich als Summe der Wahrscheinlichkeiten einer diskreten Zufallsvariablen, wie in Zufallsvariablen oder Diskrete Zufallsvariablen erläutert.

Es gilt bei der Poissonverteilung: EX = varX = λ.

Die Poissonverteilung ist reproduktiv: Eine Summe von n stochastisch unabhängigen poissonverteilten Zufallsvariablen Xi (i = 1, ... , n), mit jeweils dem Parameter λi, ist wiederum poissonverteilt, und zwar mit dem Parameter

\lambda = \sum_{i=1}^n{\lambda_i}


Beispiel:

Von den mundgeblasenen Gläsern einer Glashütte ist bekannt, dass im Durchschnitt 0,2 Fehler pro Glas auftreten.

Es ist die diskrete Zufallsvariable X: "Die Zahl der Unreinheiten in einem Glas" annähernd poissonverteilt:

X \rightarrow p(x|0{,}2) .


a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein Glas genau einen Fehler?

P(X = 1) = \frac {e^{-0{,}2} \cdot 0{,}2^1}{1!} = 0{,}2 \cdot e^{-0{,}2} = 0{,}1637


b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein Glas mindestens zwei Fehler?

P(X \ge 2) = 1- P(X \le 1) = 1 - \left( \frac {e^{-0{,}2} \cdot 0{,}2^0}{0!} + \frac {e^{-0{,}2} \cdot 0{,}2^1}{1!} \right)
= 1 − e − 0,2 − 0,1637 = 1 − 0,8187 − 0,1637 = 0,0175.


c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthalten drei Gläser zusammen mindestens zwei Fehler? Man geht davon aus, dass die Fehler der Gläser stochastisch unabhängig sind.

Man definiert als neue Zufallsvariable Y = X1 + X2 + X3, mit X1 als Zahl der Fehler des ersten Glases usw. Es ist dann λy = 0,2 + 0,2 + 0,2 = 0,6 und

P(Y \ge 2) = 1- P(Y \le 1) = 1 - \left( \frac {e^{-0{,}6} \cdot 0{,}6^0}{0!} + \frac {e^{-0{,}6} \cdot 0{,}6^1}{1!} \right)
= 1 - \left( e^{-0 {,} 6} + 0{,}6 \cdot e^{-0,6} \right) = 0{,}1219.


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