Mathematik: Statistik: Streuungsparameter eines metrischen Merkmals mit vielen verschiedenen Ausprägungen

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Einleitung

Liegen bei einem klassierten Merkmal keine Informationen über die Urliste mehr vor, können wir die Varianz des Merkmals analog zum arithmetischen Mittel mit den Klassenmitten näherungsweise berechnen. Wir erhalten für die Näherung s²'

$s^2 \approx {s^2}' = \frac {1}{n-1} \sum_{j=1}^m (x'_j - \bar x')^2 \cdot n_j \; ,$

deren Exaktheit auch wieder von der Verteilung der einzelnen Werte in den Klassen abhängt. Verwenden wir statt der absoluten Häufigkeiten n_j die relativen p_j, berechnet sich die Varianz als

$s^2 \approx {s^2}' = \frac {n}{n-1} \sum_{j=1}^m (x'_j -\bar x')^2 \cdot p_j \; .$

Man kann auch im Fall der näherungsweisen Berechnung den Verschiebungssatz anwenden. Wir wollen ihn hier nur für absolute Häufigkeiten angeben. Für die Quadratsumme der zentrierten Klassenmittel gilt

$\sum_{j=1}^m (x_j' - \bar x')^2 \cdot n_j = \sum_{j=1}^m x_j'^2 \cdot n_j - n \cdot \bar x'^2 ,$

so dass sich für die angenäherte Varianz ergibt

$s^2 \approx {s^2}' = \frac {1} {n-1} ( \sum_{j=1}^m x_j'^2 \cdot n_j - n \cdot \bar x'^2 \; .)$

PKW-Beispiel

Wie bei der Ermittlung des arithmetischen Mittels verwenden wir auch hier zweckmäßigerweise eine Tabelle. Es war das angenäherte arithmetische Mittel 367, 1875. Es wird zunächst die Varianz mit Hilfe der zentrierten Werte ermittelt:

Klasse	Intervall	Absolute Häufigkeit	Klassenmitte
j	über ... bis ...	n_j	x_j	x_j' - x_j	(x_j' - x_j)²	(x_j' - x_j)² n_j
1	0 - 200	5	100	-267,19	71390,50	356952,48
2	200 - 300	6	250	-117,19	13733,50	82400,98
3	300 - 400	6	350	-17,19	295,50	1772,98
4	400 - 500	9	450	82,81	6857,50	61717,46
5	500 - 700	6	600	232,81	54200,50	325202,98
Σ	--	32	--	--	--	828046,88

Wir erhalten für die Varianz

$s^2 = \frac{1}{32-1} \cdot 828046,88 = 26711,19$

und für die Standardabweichung

$s = \sqrt{26711,19} = 163,44$

Mit dem Verschiebungssatz dagegen erhalten wir

Klasse	Intervall	Absolute Häufigkeit	Klassenmitte
j	über ... bis ...	n_j	x_j'	x_j'²	x_j'² n_j
1	0 - 200	5	100	10000	50000
2	200 - 300	6	250	62500	375000
3	300 - 400	6	350	122500	735000
4	400 - 500	9	450	202500	1822500
5	500 - 700	6	600	360000	2160000
Σ		32			5142500

Wir erhalten für die Varianz

$s^2 = \frac{1}{32-1} (5142500 - 32 \cdot 367,19^2) = 26711,19$

↑Lageparameter

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