Mathematik: Statistik: Test auf Anteilswert

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Anteilswert einer dichotomen Grundgesamtheit

Die Verteilung des Merkmals X einer dichotomen Grundgesamtheit lässt sich durch das Urnenmodell beschreiben. Man möchte den Anteilswert θ, also den Anteil der Kugeln erster Sorte in der Urne bestimmen. Der Anteilswert wird geschätzt durch

\hat \theta = p = \frac{x}{n},

wobei x die Zahl der Kugeln erster Sorte in der Stichprobe ist. Bei einem Urnenmodell mit Zurücklegen ist X binomialverteilt.

Falls

n > \frac{9}{\theta \cdot (1-\theta)}

können wir die Prüfgröße verwenden

z = \frac { x \pm 0,5 - n \cdot \theta _0 } { \sqrt {n \cdot \theta \cdot ( 1-\theta ) } }
  • H0: θ = θ0 wird abgelehnt, falls
z = \frac {x + 0,5 - n \cdot \theta _0} { \sqrt { n \cdot \theta \cdot (1-\theta) } } < -z(1- \alpha /2 ) ,

(wenn die Prüfgröße z < 0 ist) oder

z = \frac{x - 0,5 - n \cdot \theta _0}{\sqrt {n \cdot \theta \cdot (1-\theta)}} > z(1-\alpha/2)

(wenn die Prüfgröße z > 0 ist) errechnet wird.

  • H0: θ ≤θ0 wird abgelehnt, falls
z > z = \frac{x - 0,5 - n \cdot \theta _0}{\sqrt {n \cdot \theta \cdot (1-\theta)}} > z(1-\alpha)

ist.

  • H0: θ ≥ θ0 wird abgelehnt, falls
z = \frac{x + 0,5 - n \cdot \theta _0}{\sqrt {n \cdot \theta \cdot (1-\theta)}} <- z(1-\alpha)

ist.

Ist n zu klein, kann der Ablehnungsbereich mit Hilfe der F-Verteilung exakt bestimmt werden oder mit dem Prinzip des konservativen Testens festgelegt werden.


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