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Mathematik: Statistik: Test auf Erwartungswert

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Inhaltsverzeichnis

Erwartungswert

1. Bekannte Verteilung und Varianz

Im einführenden Beispiel war die Verteilung des Merkmals in der Grundgesamtheit bekannt, also normalverteilt, und die Varianz ist bekannt. Die Prüfgröße

z = \frac {\bar x - \mu_0} {\frac {\sigma}{\sqrt n}}

ist dann standardnormalverteilt. Wir erhalten die Entscheidungsregeln für eine gewählte Irrtumswahrscheinlichkeit α

  • Ho: μ = μ0 wird abgelehnt, falls z < - z(1-α/2) oder z > z(1-a/2) ist.
  • Ho: μ ≤ μ0 wird abgelehnt, falls z > z(1-α) ist.
  • Ho: μ ≥ μ0 wird abgelehnt, falls z < - z(1-α) ist.

2. Bekannte Verteilung und unbekannte Varianz

Häufig wird neben dem Erwartungswert die Varianz ebenfalls nicht bekannt sein, so dass man statt der Varianz in der Grundgesamtheit die Schätzung

\hat \sigma^2 = s^2 = \frac {1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)^2

verwendet. Wir erhalten nun bei normalverteilter Grundgesamtheit statt z die Prüfgröße

t = \frac{\bar x - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\, ,

die t-verteilt mit n-1 Freiheitsgraden ist.

Die t-Verteilung hat eine ähnliche Form wie die Normalverteilung. In der hier betrachteten Art (zentrale t-Verteilung) ist sie ebenfalls symmetrisch bezüglich der Null. Da sie verschiedene Freiheitsgrade hat, ist sie nur für ausgewählte Quantile tabelliert. Es ist t(p;k) das p-Quantil der t-Verteilung mit k Freiheitsgraden.

Es gilt beispielsweise für die Zufallsavariable t mit 5 Freiheitsgraden:

P(t \le 3,365) = 0,99 bzw. t(0,99;5) = 3,365.

Wir erhalten die Entscheidungsregeln

  • H: μ = μ0 wird abgelehnt, falls t < - t(1-α/2; n - 1) oder t > t(1-α/2; n - 1) ist.
  • H: μ ≤μ0 wird abgelehnt, falls t > t(1-α; n - 1) ist.
  • H: μ ≥ μ0 wird abgelehnt, falls t < - t(1-α n - 1) ist.
  • Ist n > 30, können die Quantile der t-Verteilung durch die entsprechenden Quantile der Normalverteilung ersetzt werden.

3. Unbekannte Verteilung und bekannte Varianz

Ist die Verteilung des Merkmals X unbekannt, aber die Varianz varX bekannt, verwendet man bei einem n > 30 die standardnormalverteilte Prüfgröße

z= \frac{\bar x - \mu_0}{ \frac{s}{\sqrt {n}}}

Wir erhalten die Entscheidungsregeln analog zu 1.

4. Unbekannte Verteilung und unbekannte Varianz

Sind Verteilung und Varianz des Merkmals X in der Grundgesamtheit unbekannt, verwendet man für n > 50 die standardnormalverteilte Prüfgröße

z = \frac{\bar x - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}

Wir verwenden die Entscheidungsregeln analog zu 1.


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