Mathematik: Topologie: Trennungseigenschaften: T1

Dieser topologische Raum erfüllt das Trennungsaxiom T1. Dies sieht man wie folgt: Seien zwei verschiedene Punkte x und y gegeben. Die Menge hat ein endliches Komplement, ist also offen. Sie enthält x, aber nicht y.

Dieser topologische Raum erfüllt jedoch nicht das Trennungsaxiom T2. Dies sieht man wie folgt: Seien wieder zwei verschiedene Punkte x und y gegeben. Sei eine Umgebung von x. Dann ist das Komplement von U endlich, denn U enthält per Definition eine offene Menge. Das gleiche ist der Fall für jede Umgebung von y. In einer unendlichen Menge sind zwei Mengen mit endlichem Komplement jedoch nie disjunkt.

(a) X ist ein T1-Raum.

(b) Jede einpunktige Menge ist abgeschlossen.

(c) Jede Teilmenge ist der Durchschnitt aller ihrer Umgebungen.