Mathematik 10. Klasse/ Druckversion

Mathematik 10. Klasse/ Wachstum Mathematik 10. Klasse/ Einführung

Multiplizieren von Potenzen mit dem gleicher Basis	$a^r \cdot a^s = a^{r+s}$
Dividieren von Potenzen mit dem gleicher Basis	$\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}$
Potenzieren von Potenzen	$(a^r)^s = a^{r \cdot s}$
Potenzieren von Produkten	$(a \cdot b)^r = a^r \cdot b^r$
Potenzieren von Quotienten	$(\frac{a}{b})^r = \frac{a^r}{b^r}$

Mathematik 10. Klasse/ Potenzen mit negativem Exponenten Mathematik 10. Klasse/ Potenzen mit reelen Exponenten Mathematik 10. Klasse/ Trigonometrische Funktion als Graphen Mathematik 10. Klasse/ Logarithmen Mathematik 10. Klasse/ Kreisberechnung Mathematik 10. Klasse/ Körperberechnung

Die Trigonometrischen Funktionen sind Seitenverhältnisse. Mithilfe dieser ist es möglich, Winkel und Seiten im rechtwinkligen Dreieck zu errechnen, wenn zwei Werte bekannt sind. $\tan \alpha = \frac{a}{b} \quad \quad \quad \tan = \frac\text{Gegenkathete}\text{Ankathete} \quad \quad \quad \tan \beta = \frac{b}{a}$ $\sin \alpha = \frac{a}{c} \quad \quad \quad \sin = \frac\text{Gegenkathete}\text{Hypotenuse} \quad \quad \quad \sin \beta = \frac{b}{c}$ $\cos \alpha = \frac{b}{c} \quad \quad \quad \cos = \frac\text{Ankathete}\text{Hypotenuse} \quad \quad \quad \quad \cos \beta = \frac{a}{c}$

1
Berechne den gesuchten Wert

a) α = 40, b = 8 gesucht: a

b) α = 17, a = 6 gesucht: b

Sinussatz

Herleitung

Mithilfe des Sinus kann man nun beide kleine Dreiecke auf dem Bild nach $h_c$ auflösen:
$\sin \alpha=\frac{h_c}{b} \quad, \quad \quad \sin \beta=\frac{h_c}{a}$

$b \cdot \sin \alpha=h_c \quad, \quad a \cdot \sin \beta=h_c$

nun setzt man beide Gleichungen nach $h_c$ gleich:

$b \cdot \sin \alpha=a \cdot \sin \beta$
nun kann die Gleichung noch durch $\sin \beta$ und $b$ dividieren und man erhält:
$\frac{a}{b}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }$

Dies kann man für jeden Winkel und jede Seite machen.

In jedem beliebigen Dreieck entspricht das Verhältnis von zwei Seiten dem der Sinuswerte dergegenüberliegenden Winkel. Daraus folgt: $\frac{a}{b}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta } \quad ,$ $\frac{a}{c}=\frac{\sin \alpha }{\sin \gamma} \quad ,$ $\frac{b}{c}=\frac{\sin \beta }{\sin \gamma }$

Kosinussatz

Für die drei Seiten a, b und c eines Dreiecks sowie für den der Seite c gegenüberliegenden Winkel – d.h. den zwischen den Seiten a und b liegenden Winkel – γ gilt: $c^2=a^2+b^2-2\,a\,b \cdot cos\gamma$ Völlig analog gilt natürlich auch für die anderen Winkel: $b^2=a^2+c^2-2\,a\,c \cdot cos\beta$ $a^2=b^2+c^2-2\,b\,c \cdot cos\alpha$

Weblinks

• Videolektion zum Kosinussatz - Herleitung und Anwendung (echteinfach.tv)

Mathematik 10. Klasse/ Trigonometrische Funktion als Graphen

Kreisberechnung

Fläche: $A = \pi \cdot r^2$
Umfang: $U = \pi \cdot d$

Körperberechnung

Quader

Volumen: $V = a \cdot b \cdot h$
Oberfläche: $O = 2 \cdot( a \cdot b ) + 2 \cdot ( b \cdot h ) + 2 \cdot ( a \cdot h )$

Zylinder

Volumen: $V = G \cdot h \quad = \quad \pi \cdot r^2 \cdot h$
Oberfläche: $O = 2G + M \quad = \quad 2 \pi \cdot r^2 + 2 \pi \cdot r \cdot h$

Kugel

Volumen: $V = \frac{4}{3} \pi r^3$
Oberfläche: $O = 4 \cdot \pi \cdot r^2$

Kegel

Volumen: $V = \frac{1}{3} G \cdot h \quad = \quad \frac{1}{3} \pi \cdot r^2 \cdot h$
Mantellinie $s = \sqrt{h^{2}+r^{2}}$
Oberfläche: $O = G + M \quad = \quad \pi \cdot r^2 + \pi \cdot r \cdot s$

Pyramide

Volumen: $V = \frac{1}{3} G \cdot h \quad = \quad \frac{1}{3} a \cdot b \cdot h$
Oberfläche: $O = G + M$

Tetraeder

...