Mathematik 10. Klasse/ Sinus- und Kosinussatz

Sinussatz

Herleitung

Mithilfe des Sinus kann man nun beide kleine Dreiecke auf dem Bild nach $h_c$ auflösen:
$\sin \alpha=\frac{h_c}{b} \quad, \quad \quad \sin \beta=\frac{h_c}{a}$

$b \cdot \sin \alpha=h_c \quad, \quad a \cdot \sin \beta=h_c$

nun setzt man beide Gleichungen nach $h_c$ gleich:

$b \cdot \sin \alpha=a \cdot \sin \beta$
nun kann die Gleichung noch durch $\sin \beta$ und $b$ dividieren und man erhält:
$\frac{a}{b}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }$

Dies kann man für jeden Winkel und jede Seite machen.

In jedem beliebigen Dreieck entspricht das Verhältnis von zwei Seiten dem der Sinuswerte dergegenüberliegenden Winkel. Daraus folgt: $\frac{a}{b}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta } \quad ,$ $\frac{a}{c}=\frac{\sin \alpha }{\sin \gamma} \quad ,$ $\frac{b}{c}=\frac{\sin \beta }{\sin \gamma }$

Kosinussatz

Für die drei Seiten a, b und c eines Dreiecks sowie für den der Seite c gegenüberliegenden Winkel – d.h. den zwischen den Seiten a und b liegenden Winkel – γ gilt: $c^2=a^2+b^2-2\,a\,b \cdot cos\gamma$ Völlig analog gilt natürlich auch für die anderen Winkel: $b^2=a^2+c^2-2\,a\,c \cdot cos\beta$ $a^2=b^2+c^2-2\,b\,c \cdot cos\alpha$

Weblinks

• Videolektion zum Kosinussatz - Herleitung und Anwendung (echteinfach.tv)