Mathematik 10. Klasse/ Trigonometrie

Die Trigonometrischen Funktionen sind Seitenverhältnisse. Mithilfe dieser ist es möglich, Winkel und Seiten im rechtwinkligen Dreieck zu errechnen, wenn zwei Werte bekannt sind. $\tan \alpha = \frac{a}{b} \quad \quad \quad \tan = \frac\text{Gegenkathete}\text{Ankathete} \quad \quad \quad \tan \beta = \frac{b}{a}$ $\sin \alpha = \frac{a}{c} \quad \quad \quad \sin = \frac\text{Gegenkathete}\text{Hypotenuse} \quad \quad \quad \sin \beta = \frac{b}{c}$ $\cos \alpha = \frac{b}{c} \quad \quad \quad \cos = \frac\text{Ankathete}\text{Hypotenuse} \quad \quad \quad \quad \cos \beta = \frac{a}{c}$

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Berechne den gesuchten Wert

a) α = 40, b = 8 gesucht: a

b) α = 17, a = 6 gesucht: b

Sinussatz

Herleitung

Mithilfe des Sinus kann man nun beide kleine Dreiecke auf dem Bild nach $h_c$ auflösen:
$\sin \alpha=\frac{h_c}{b} \quad, \quad \quad \sin \beta=\frac{h_c}{a}$

$b \cdot \sin \alpha=h_c \quad, \quad a \cdot \sin \beta=h_c$

nun setzt man beide Gleichungen nach $h_c$ gleich:

$b \cdot \sin \alpha=a \cdot \sin \beta$
nun kann die Gleichung noch durch $\sin \beta$ und $b$ dividieren und man erhält:
$\frac{a}{b}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }$

Dies kann man für jeden Winkel und jede Seite machen.

In jedem beliebigen Dreieck entspricht das Verhältnis von zwei Seiten dem der Sinuswerte dergegenüberliegenden Winkel. Daraus folgt: $\frac{a}{b}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta } \quad ,$ $\frac{a}{c}=\frac{\sin \alpha }{\sin \gamma} \quad ,$ $\frac{b}{c}=\frac{\sin \beta }{\sin \gamma }$

Kosinussatz

Für die drei Seiten a, b und c eines Dreiecks sowie für den der Seite c gegenüberliegenden Winkel – d.h. den zwischen den Seiten a und b liegenden Winkel – γ gilt: $c^2=a^2+b^2-2\,a\,b \cdot cos\gamma$ Völlig analog gilt natürlich auch für die anderen Winkel: $b^2=a^2+c^2-2\,a\,c \cdot cos\beta$ $a^2=b^2+c^2-2\,b\,c \cdot cos\alpha$

Weblinks

• Videolektion zum Kosinussatz - Herleitung und Anwendung (echteinfach.tv)

Mathematik 10. Klasse/ Trigonometrische Funktion als Graphen