Mathematische Übungsbeispiele: Differentialrechnung Rechenweg

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Differentialrechnung Rechenweg

Die einfachste Ableitung der Welt

Gegeben ist die Funktion $g(x)=x^{2}$. Berechne die Ableitung $g'(x)$ und ermittle ihre Werte $g'(0)$, $g'(3)$ und $g'(5)$.

    $g'(x)=2\times x$
    $g'(0)=2\times 0=0$  
    $g'(3)=2\times 3=6$
   
    ...

Ableitung in der Summe

Gegeben ist die Funktion $g(x)=5x^{3}+7x^{2}+11x+10$. Berechne die Ableitung $g(x)'$ und ermittle die Werte $g'(-1)$, $g'(1)$ und $g'(2)$.

  Nach der Summenformel werden die einzelnen Terme separat
  abgeleitet und zusammen gezählt.

  $g'(x)=15x^{2}+14x+11$ 
  $g'(-1)=15(-1)^{2}+14(-1)+11$
  ... 

x Quadrat plus eins hoch zehn

Gegeben ist die Funktion $h(x)=(x^{2}+1)^{10}$. Berechne die Ableitung $h'(x)$ und ermittle die Werte $h'(-1)$, $h'(0)$ und $h'(1)$.

   Nach der Kettenregel wird eine geschachtelte Funktion 
   mit der Formel $(f(g))'=f'(g)g'$ abgeleitet.

   Die äußere Funktion ist hier "hoch 10" die innere Funktion ist $x^{2}+1$
   $h'(x)=\underbrace {10(x^{2}+1)^{9}} _{f'(g)}\underbrace {(2x)} _{g'}$

   $h'(-1)=10((-1)^{2}+1)^{9}2(-1)=10(2^{9})(-2)=-102040$
   ...

x mal Sinus x durch x Quadrat plus 1

Gegeben sei die Funktion $g(x)={\frac {xsinx}{x^{2}+1}}$ Berechne $g'(x)$ und ermittle die Werte $g'(\pi )$ und $g'(\pi /2)$ (auf vier Stellen hinter dem Komma; rechne sin und cos mit Bogenmaß)

   Nach der Quotientenregel formen wir aus dem rechten Ausdruck zunächst 
   ${\frac {(xsinx)'(x^{2}+1)-(xsinx)(x^{2}+1)'}{(x^{2}+1)^{2}}}$

   Dann leiten wir die einzelnen Teilausdrücke ab
   ${\frac {(1\cdot sinx+xcosx)(x^{2}+1)-(xsinx)2x}{(x^{2}+1)^{2}}}$

   Wir multiplizieren die Terme oben aus
   ${\frac {x^{2}sinx+x^{3}cosx+sinx+xcosx-2x^{2}sinx}{(x^{2}+1)^{2}}}$

   und vereinfachen zu 
   ${\frac {x^{3}cosx+sinx+xcosx-x^{2}sinx}{(x^{2}+1)^{2}}}$

   Die Ableitung ist somit
    $g'(x)={\frac {x^{3}cosx+sinx+xcosx-x^{2}sinx}{(x^{2}+1)^{2}}}$