Mathematische Übungsbeispiele: Dreiecke und Vierecke

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Wenn du nicht weisst, wie du ein Problem lösen kannst, dann gibt es ein leichteres Problem, das du nicht lösen kannst.

Finde es!

George Polya

Inhaltsverzeichnis 1 Flächen von Dreieck und Viereck 1.1 Rechtecksfläche 1.2 Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks 1.3 Fläche eines allgemeinen Dreiecks 1.4 Achtstern 1.5 Rechteck geschält 1.6 Archimedes und 1.7 Würfelverdopplung 2 Trigonometrie 2.1 Drei Seiten 2.2 Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel

[Bearbeiten] Flächen von Dreieck und Viereck

[Bearbeiten] Rechtecksfläche

Berechne die Fläche eines Rechtecks mit den Seiten a = 12 und b = 17

[Bearbeiten] Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks

Berechne die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten a = 13 und b = 18

[Bearbeiten] Fläche eines allgemeinen Dreiecks

Berechne die Fläche eines Dreiecks mit c = 16 und der Höhe h_c = 3 über der Seite c.

[Bearbeiten] Achtstern

Zwei gleich große Quadrate mit Seitenlänge 1 liegen in Form eines achtzackigen Sterns übereinander. Die jeweiligen Mittelpunkte liegen übereinander, das zweite Quadrat liegt um 45° verdreht zum ersten. Berechne die Fläche der vier überstehenden Ecken des zweiten Quadrats.

Ich habe an dieser Aufgabe in der fünften Gym einen ganzen Nachmittag herumgerechnet. Mit dem richtigen Ansatz geht es aber in fünf Minuten.

[Bearbeiten] Rechteck geschält

Von einem Rechteck mit den Seitenlängen a und b soll ringsherum ein Streifen einheitlicher Dicke weggeschnitten werden, sodass es auf ein kleineres Rechteck mit der Hälfte der Fläche schrumpft. Gib die Dicke der Schale für die Rechtecke a = 9,b = 5 und a = 7,b = 3 an.

[Bearbeiten] Archimedes und

Archimedes überlegt sich wie er den Umfang eines Kreises mit Radius 1 (und damit die Kreiszahl π) durch eingeschriebene Vielecke näherungsweise berechnen kann. Zuerst berechnet Archimedes den Umfang eines eingeschriebenen Quadrates . Geteilt durch 2 hat das auf dem Taschenrechner den Wert v₀ = 2.82842712, eine erste Näherung für π = 3.1415.... Für die nächste Näherung soll jede Seite in der Mitte geteilt werden und aus dem eingeschriebenen Viereck wird ein eingeschriebenes Achteck. Sein halber Umfang v₁ ist schon eine bessere Näherung für π. Mit der gleichen Berechnungsmethode kannst du auf ein 16-, 32- und 64-Eck verfeinern, prinzipiell immer weiter. Berechne v₁,v₂,v₃,v₄,v₅,v₆ und überprüfe das Ergebnis auf jeweils 4 Stellen hinter dem Komma.

[Bearbeiten] Würfelverdopplung

Das Orakel von Delphi verlangte, dass der würfelförmige Altartisch vergrößert wird; so, dass sich sein Volumen verdoppelt. Um das wie vielfache muss die Seitenlänge größer werden?

[Bearbeiten] Trigonometrie

[Bearbeiten] Drei Seiten

Ein Dreieck hat die Seitenlängen a = 4, b = 5 und c = 6. Berechne den der Seite c gegenüberliegenden Winkel γ .

Die Formel mit der man diese Aufgabe löst ist eine Verallgemeinerung des Pythagoräischen Lehrsatzes.

[Bearbeiten] Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel

Ein Dreieck schliesst mit den Seiten b und c den Winkel α ein. Berechne daraus die Länge der Seite a (gegenüberliegend zu α).