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Dieses Buch befindet sich derzeit im Prozess der Entstehung. Habe bitte Verständnis, dass der Hauptautor die Zügel in der Hand behalten will. Frag vor inhaltlichen Veränderungen daher bitte erst bei diesem an, um die Zusammenarbeit abzustimmen. Beachte die Projektdefinition! Danke.

[Bearbeiten] Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen

In der Physik hat man es am häufigsten mit linearen Differentialgleichungen (ODEs engl. ordinary differential equations) zu tun. Dies hat weniger den Grund das in der Natur vor allem lineare Zusammenhänge vorherrschen, als viel mehr den, dass lineare gewöhnliche Differentialgleichungen am einfachsten zu lösen sind. Daher versucht der Physiker häufig Probleme zunächst in Form allgemeiner Differentialgleichungen (also schlimmstenfalls nichtlinear und partiell) zu formulieren. Danach wird versucht mit entsprechenden Näherungen (ein bisschen gebogen ist fast gerade) zur dieser einfachen Form zu kommen. Dies wird später am Beispiel des mathematischen Pendels deutlich. Eine gewöhnliche lineare ODE hat die Form

$c 0 y + c 1 y' + c 2 y'' + ... + c n y n = f$ bzw

$\sum_{i=0}^nc_i(x)\frac{d^i}{dx^i}y(x)=f(x)$ .

Dabei ist n die Ordnung der ODE. Es treten in der linearen Differentialgleichung also die gesuchte Funktion y selbst sowie deren Ableitungen auf. Die höchste Ableitung ist dabei n. Zur leichteren Lösung unterscheidet man einige Sonderfälle. Falls die linke Seite überall verschwindet (also $f(x)\equiv0$ ist), spricht man von einer homogenen ODE. Falls die $c i$ Konstanten, also keine Funktionen der unabhängigen Variable sind spricht man von ODEn mit konstanten Koeffizienten. Zur Namensgebungen folgen einige Beispiele.

$3 y - 7 y''(x) = x 3$ ist linear, 2ter Ordnung, inhomogen, und hat konstante Koeffizienten

$y 2 + y'(x) = 0$ ist nichtlinear

$y + s i n (y'(x)) = 0$ ist nichtlinear

$y+\frac{1}{x} y''(x)-sin(x^3)\frac{d^4}{dx^4}y(x)=0$ ist linear, homogen und hat variable Koeffizienten

Das Pendel mit Dämpfung liefert bei seiner Herleitung eine nichtlineare ODE vom Typ

$\frac{d^2}{dt^2}\phi(t)+\frac{d}{dt}\phi+sin(\phi(t))=0$ bzw.

$\ddot{\phi}+\dot{\phi}+sin(\phi)=0$ .

Die Sprechweise "Typ einer ODE" verdient an dieser Stelle Erwähnung. Stelle dir vor du hast eine ODE und willst sie nicht selber lösen, weil du einen Mathematikerkollegen hast, der dir noch was schuldet. Deine Physiker-Gleichung enthält eine Menge Konstanten wie die Masse, $π$ , die Elementarladung und die Lichtgeschwindigkeit u.s.w. mit all deren Einheiten. Mathematiker verstehen davon aber gar nichts und daher musst du das ganze möglichst so umformen das es wieder mathematikerfreundlich ist. Also einheitenfrei und mit möglichst wenigen Konstanten. Wenn ein Mathematiker so etwas sieht wie $\frac{\hbar^2}{2m}$ macht er daraus sofort $\frac{\hbar^2}{2m}=C_1$ und denkt du interessierst dich für Ergebnisse die von $C 1$ abhängen. Ausserdem ist es immer gut durch entsprechendes Neubenennen und Koordinatentransformationen eine möglichst einfache Form zu finden, weil du dann beim eigentlich interessanten Teil weniger schreiben musst.

Die gesuchte Funktion ist beim Pendel der Auslenkwinkel $φ$ in Abhängigkeit der freien Variablen, also der Zeit $t$ . Wie bereits versprochen machen wir diese mit einer Näherung zu einer Linearen ODE. Falls der Winkel klein ist, ist der Sinus des Winkels fast gleich dem Sinus. Du kannst dies mit mehreren Methoden prüfen. Wenn man den Sinus plottet, und eine Ursprungsgerade ins selbe Bild zeichnet sieht man das beide zunächst gleich verlaufen und erst bei größeren Winkeln verschieden sind. Wenn man die Taylorreihe des Sinus bis zum ersten Glied bildet erhält man dasselbe Ergebnis. Siehe dazu auch [1]. Für kleine Winkel erhält man also

$\ddot{\phi}+\dot{\phi}+\phi=0$ .

Es ist also mathematisch gesehen eine lineare, homogene ODE 2ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Diese ODE ist in der Physik besonders wichtig und hat daher einen eigenen Physikernamen. Es ist die Differentialgleichung der harmonischen Schwingung. Sie tritt in folgenden populären Fällen auf: beim Pendel (kleine Auslenkung), dem Federschwinger, dem elektrischen Schwingkreis (dort ist die el. Spannung Zeitabhängig), der Streckschwingung eines Moleküls (falls man die klassisch betrachtet) u.v.a.m.. Man sieht hier auch das die Konstanten vor den Termen verschieden gewesen wären. Dies hätte den Charakter der Gleichung aber nicht geändert. Wenn wir die Dämpfung vorrübergehend Weglassen (Pendel in der Vakuumkammer, oder die Luft ist hinreichend dünn...) erhalten wir

$\ddot{\phi}=-phi$ .

Diese ODE hat die interessante Eigenschaft das wir sie im Kopf lösen können. Die 2te Ableitung einer Funktion soll gleich derselben Funktion mit anderem Vorzeichen sein. Dies trifft zu für $φ(t) = 0$ . Es gibt also die Lösung das überhaupt nichts passiert. Wir nennen das die triviale Lösung und interessieren uns nicht weiter dafür (ist ja Langweilig!). Andererseits sind $φ(t) = s i n (t)$ $φ(t) = c o s (t)$ Lösungen. Da man oft Funktionen als Lösung einer ODE definiert sagt man auch " $\ddot{\phi}=-phi$ ist die ODE des Sinus bzw. des Kosinus ".

Eine weitere Eigenschaft, die durch die Linearität der Gleichung entsteht ist, das auch $c 1 s i n (t) + c 2 c o s (t)$ mit beliebigen $c 1$ und $c 2$ die Gleichung löst. Man nennt daher ${0, s i n (t), c o s (t)}$ das Fundamentalsystem der Gleichung. Linearkombinationen des Fundamentalsystems einer linearen ODE sind ebenfalls Lösungen der ODE.

Im Falle des Pendels gibt es dazu eine physikalische Erklärung. Lässt man zum Zeitpunkt t=0 das aus einer ausgelenkten Position los, so nimmt seine Geschwindigkeit zunächst von 0 zu, um dann wieder abzunehmen. Das heisst die Geschwindigkeit ist sinusartig, und daher die Auslenkung cosinusartig. Legt man t=0 jedoch so das man zu diesem Zeitpunkt dem Pendel in Ruhelage eine Geschwindigkeit vorgibt, also "anschubst", erhält man eine cosinusartige Geschwindigkeit, und eine sinusartige Auslenkung. Selbstverständlich darf man sich aber aussuchen wann t=0 sein soll. Als Ergebnis erhält man "Mischungen" oder vornehmer Linearkombinationen der beiden Fälle.

Wir merken uns, dass die ODE alleine noch nicht das genaue Verhalten des physikalischen Systems vorhersagt. Sie liefert eine riesige Vielzahl an Lösungen, von denen wir durch Anfangs- und Randwerte die richtigen aussuchen müssen.