Physik Oberstufe/ Schwingungen und Wellen/ Mechanische Wellen

Grundbegriffe

Kreiswellen auf einer Wasseroberfläche.

Experiment: Eine Welle auf einer Wasseroberfläche wird untersucht. Beobachtungen und Begriffe: Wellenberge und -Täler Wellenfront Ausbreitungsgeschwindigkeit ${\vec {c}}$ ${\vec {c}}$ steht senkrecht zur Wellenfront kein Materietransport, aber Energietransport

Eindimensionale harmonische Wellen

Ausbreitungsgeschwindigkeit ${\vec {c}}$ und Schnelle ${\vec {v}}$. → Momentaufnahme

Die Wellenlänge $\lambda$ gibt die räumliche Periodizität an.

Betrachten wir die eindimensionale Welle (Bild). Die Welle breitet sich mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit ${\vec {c}}$ aus. Davon zu unterscheiden ist die Geschwindigkeit jedes einzelnen Massenpunktes, die man als Schnelle ${\vec {v}}$ bezeichnet.

Jeder Massepunkt macht eine harmonische Schwingung in vertikaler Richtung. Mit der Frequenz $f$ bzw. der Periodendauer $T$ dieser Schwingung folgt die wichtige Beziehung:

Grundgleichung: $c={\frac {\lambda }{T}}=\lambda \cdot f$

Mathematische Beschreibung harmonischer Wellen

Wir wollen die Welle durch eine von Ort $x$ und Zeit $t$ abhängige Funktion beschreiben:

$y=f(x,t)$

Die Masse an der Stelle $x=0$ schwinge nach der Gleichung:

$y=A\cdot \sin \left({\frac {2\pi }{T}}\cdot t\right)$

Dann schwingt eine Masse an der Stelle $x>0$ gemäß:

$y=A\cdot \sin \left({\frac {2\pi }{T}}\cdot t-\varphi (x)\right)$

mit der von $x$ abhängigen Phasenverschiebung $\varphi (x)$. Die Funktion $\varphi (x)$ muss linear mit den folgenden Eigenschaften sein:

$\varphi (0)=0\quad {\text{und}}\quad \varphi (\lambda )=2\pi \quad \Rightarrow \quad \varphi (x)={\frac {2\pi }{\lambda }}\cdot x$

Damit folgt:

$y=A\cdot \sin \left({\frac {2\pi }{T}}\cdot t-{\frac {2\pi }{\lambda }}\cdot x\right)$

Beschreibung mit Zeigern

Eine harmonische Welle kann mit einem rotierenden Zeiger beschrieben werden.

Sinus und Kosinus am Einheitskreis.

Harmonische Wellen an festem Ort oder zu fester Zeit können mit rotierenden Zeigern beschrieben werden. Wie aus dem Bild ersichtlich, entspricht eine Periode an festem Ort einer Rotation des Zeigers um $2\pi$. Das selbe gilt bei festgehaltener Zeit für eine Wellenlänge. Diese Beschreibung ist insbesondere bei der Überlagerung von Wellen vorteilhaft (siehe unten).

Longitudinale und transversale Wellen

Schwingungs- und Ausbreitungsrichtung einer Longitudinalwelle (a) und einer Transversalwelle (b)

Man unterscheidet zwei grundsätzliche Wellenarten:

Transversale Wellen (Querwellen)

• Die Auslenkung/Schnelle steht senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung: ${\vec {c}}\perp {\vec {v}}.$

• Beispiele/Darstellungen von Transversalwellen
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Longitudinale Wellen (Längswellen)

• Die Auslenkung/Schnelle erfolgt parallel zur Ausbreitungsrichtung: ${\vec {c}}\;||\,{\vec {v}}.$

• Beispiele/Darstellungen von Longitudinalwellen
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Überlagerung von Wellen

Wellen durchdringen sich ohne Beeinflussung.
Überlagern sich zwei gegeneinander laufende Wellenberge exakt, so entsteht ein Zustand, bei dem die Schnelle der resultierende Welle überall verschwindet.
Überlagern sich zwei gegeneinander laufende Wellen, Berg und entsprechendes Tal, so verschwindet für einen Moment die Auslenkung überall.

Experiment: Auf einem Wellenträger (Seil, Feder, Wellenmaschine) werden einzelne Wellenberge und/oder -Täler in entgegengesetzter Richtung erzeugt, die anschließend kollidieren. Beobachtungen: Die Wellenberge und -Täler durchdringen sich ohne Beeinflussung.

Spezialfälle

Ein nach rechts laufender Wellenberg trifft auf einen identischen, nach links laufenden Wellenberg. Im Moment der vollständigen Überlagerung:

• entsteht ein Wellenberg doppelter Auslenkung,
• ist die Schnelle überall identisch Null.

Ein nach rechts laufender Wellenberg trifft auf ein entsprechendes, nach links laufendes Wellental. Im Moment der vollständigen Überlagerung:

• entsteht ein Zustand ohne jede Auslenkung,
• verdoppelt sich die Schnelle.

Interferenzprinzip

Wellen überlagern sich auf dem selben Wellenträger. Man erhält die Auslenkung der resultierenden Welle, indem man an jeder Stelle die Auslenkungen der ursprünglichen Wellen addiert. Die Schnelle der resultierenden Welle erhält man, indem man an jeder Stelle die Schnellen der ursprünglichen Wellen addiert.

Schwebung

Schwebung zweier Wellen. Oben eine Momentaufnahme der Wellen, deren Frequenzen sich geringfügig unterscheiden. Unten die Schwebung, gebildet durch Addition.

Summe (blau) zweier harmonischer Wellen (rot und grün): Die Frequenz der grünen Welle ist anfangs gleich der Frequenz der blauen und wird dann schrittweise um bis zu 25% reduziert.

Überlagerung zweier Wellen. Die durch rotierende Zeiger beschriebenen Wellen haben einen geringfügigen Frequenzunterschied. Die Amplitude der resultierenden Welle (rot) variiert periodisch. Experiment: Zwei leicht gegeneinander verstimmte Stimmgabeln werden gleichzeitig angeschlagen: Einem Ton von 440 Hz ist ein zweiter Ton überlagert, dessen Frequenz von 440 Hz auf 490 Hz ansteigt: 220 Hz und 222 Hz 220 Hz und 207.65 Hz Beobachtung: Man hört einen periodisch an- und abschwellenden Ton. Erklärung: Die beiden Schallwellen überlagern sich aufgrund ihrer unterschiedlichen Frequenz abwechselnd konstruktiv (verstärkend) und destruktiv (auslöschend).

Stehende Wellen

Überlagerung entgegengesetzt laufender harmonischer Wellen gleicher Wellenlänge. Experiment: Auf einem Wellenträger (Seil, Feder, Wellenmaschine) werden entgegengesetzt laufende harmonische Wellen gleicher Wellenlänge überlagert. Beobachtungen: Es entsteht eine stehende Welle mit Knoten und Bäuchen. Der Abstand zwischen zwei benachbarten Knoten beträgt jeweils die halbe Wellenlänge.

Reflexion von Wellen

Reflektion eines Wellenberges an einem losen und einem festen Ende. Experiment: Auf einem Wellenträger (Seil, Feder, Wellenmaschine) wird ein Wellenberg gestartet und das Verhalten am Ende des Wellenträgers beobachtet. Beobachtungen: Abhängig von der Art des Endes beobachtet man: Am losen Ende wird ein Wellenberg als Wellenberg, ein Wellental als Wellental reflektiert. Am festen Ende wird ein Wellenberg als Wellental (und umgekehrt) reflektiert.

Stehende Wellen durch Reflexion

Stehende Welle als Überlagerung einer von links nach rechts einlaufenden Welle (blau) und der am festen Ende reflektierten Welle (rot).

Wenn wir statt eines einzelnen Wellenbergs eine kontinuierliche, harmonische Welle auf dem Wellenträger starten, so wird diese ebenfalls am Ende reflektiert:

• Am losen Ende hat die reflektierte Welle die gleiche Phase wie die einlaufende Welle. Durch Überlagerung der einlaufenden mit der reflektierten Welle bildet sich eine stehende Welle mit einem Schwingungsbauch am losen Ende des Wellenträgers.
• Am festen Ende hat die reflektierte Welle eine Phasenverschiebung um $\pi$ relativ zur einlaufenden Welle. Man spricht von einem Phasensprung um $\pi$ am festen Ende. Wieder bildet sich eine stehende Welle, diesmal mit einem Knoten am festen Ende.

Experiment: Messung der Schallwellenlänge von Ultraschall durch Messung der Schallamplitude (Knoten und Bäuche) vor einer reflektierenden Wand.

Eigenschwingungen (Eigenmoden)

Schwingungsmoden einer Saite. Die erste Schwingung stellt die Grundschwingung mit der Grundfrequenz $f_{0}$ dar. Die weiteren Schwingungen zeigen die ersten 6 Oberschwingungen.

Eigenschwingungen (Eigenmoden) einer Saite.

Eigenschwingungen einer einseitig abgeschlossenen Luftsäule. Eingezeichnet ist jeweils der Druckverlauf.

Raummoden zwischen zwei festen Wänden. An den Wänden herrscht maximaler Schalldruck (Druckbauch).

Wir betrachten nun einen eindimensionalen, in beiden Richtungen begrenzten Wellenträger der Länge $l$.

Zwei feste Enden

Typisches Beispiel ist die gespannte Saite eines Musikinstruments. Man beobachtet stehende Wellen unterschiedlicher Wellenlänge, die stets einen Knoten an den Enden vorweisen. Für die Grundschwingung, die Schwingung mit der kleinsten bzw. tiefsten Frequenz, findet man mit $c=\lambda \cdot f$:

$f_{0}={\frac {c}{2l}}$.

Die nächste mögliche stehende Welle, die die Bedingung der Knoten an den Enden erfüllt, ist die erste Oberschwingung. Dabei passt genau eine Wellenlänge auf den Wellenträger und es gilt:

$f_{1}={\frac {c}{l}}=2f_{0}$.

In der Akustik entspricht dieser Frequenzunterschied einer Oktave. Für die zweite Oberschwingung gilt entsprechend:

$f_{2}={\frac {3c}{2l}}=3f_{0}$.

Ein festes und ein loses Ende

Der Fall eines festen und eines losen Endes liegt u.a. bei vielen Blasinstrumenten und Pfeifen vor. Für die Grundschwingung gilt:

$f_{0}={\frac {c}{4l}}$,

für die ersten beiden Oberschwingungen:

$f_{1}={\frac {3c}{4l}}=3f_{0}$ und

$f_{2}={\frac {5c}{4l}}=5f_{0}$

Aufgabe Bestimme die Grundfrequenz und die ersten beiden Oberschwingungsfrequenzen bei einem Wellenträger der Länge $l$ mit zwei losen Enden.

Bei Musikinstrumenten werden Grund- und Oberschwingen eines Wellenträgers (Saite, Luftsäule, …) gleichzeitig angeregt. Die Grundschwingung bestimmt die Tonhöhe, die Oberschwingungen sind für die Klangfarbe/Klangcharakteristik ausschlaggebend.

Die Kundsche Röhre

Schematische Darstellung des Kundtschen Rohres. Darstellung der Apparatur und der Staubfiguren aus der Original-Arbeit von August Kundt, 1866 Experiment: Eigenmoden der Luftsäule in einer mit Korkmehl präparierten Glasröhre werden angeregt. Beobachtung: An Schnellebäuchen wird das Korkmehl mitgerissen/aufgewirbelt Schwingungsknoten und -Bäuche werden dadurch sichtbar → Wir können aus Frequenz und Wellenlänge die Schallgeschwindigkeit bestimmen.