Technische Mechanik: Statik: Grundbegriffe

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SI-Einheiten

Durch die SI-Einheiten werden physikalische Einheiten zu ausgewählten Größen festgelegt. In den SI-Einheiten als Größen genauer definiert sind: Masse, Länge, Zeit, Stromstärke, Temperatur, Stoffmenge und Lichtstärke. Für die Statik sind nur die ersten drei relevant.

Masse

Die Masse ist eine Grundgröße in der Mechanik sie ist Grund der Massenträgheit und der Gravitation. Die Basiseinheit der Masse im SI-System ist das Kilogramm. Das Einheitenzeichen für Kilogramm ist kg. Die Masse ist nicht zu verwechseln mit dem Gewicht. Letzteres ist Eine Kraft und ist Ortsabhängig. Die Masse hingegen ist überall gleich.

Länge

Die Länge bezeichnet die räumliche Ausdehnung eines physikalischen Körpers oder den Abstand von Körpern zueinander in einer bestimmten geometrischen Richtung. Die Basiseinheit der Länge im SI-System ist das Meter. Das Einheitenzeichen für Meter ist m.

Zeit

Mit dem Zeitbegriff läßt sich die Dauer von Ereignissen bestimmen. Die Basiseinheit der Zeit im SI-System ist die Sekunde. Das Einheitenzeichen für Sekunde ist s.

Skalar

Ein Skalar ist eine durch eine Maßzahl festgelegte Größe. Beispiele eines Skalares sind Masse, Länge und Zeit.

Vektor

Der Vektor ist eine durch Maßzahl und Richtung festgelegte Größe. Beispiele eines Vektors sind Kraft, Impuls und Geschwindigkeit. Sie ist anschaulich eine gerichtete Strecke im Raum. Ihr Betrag (der Länge des Pfeils) entspricht einer Maßzahl. Die Richtung kann durch den Einheitsvektor angegeben werden.

Rechenoperationen

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren wird so genannt weil das Ergebnis ein Skalar ist. Es wird notiert als $\vec a\cdot\vec b$. und ist

$\vec{a}\cdot\vec{b} = \left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\cos\alpha$,

wobei $\alpha$ der zwischen den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel ist. Stehen die zwei Vektoren rechtwinkelig zueinander ist das Skalarprodukt Null: $\cos \left(\frac{\pi}{2} \right)=0 \Rightarrow \vec{a}\cdot\vec{b} = 0$.

Im Kartesischen Koordinatensystem berechnet sich das Skalarprodukt als

$\vec{a}\cdot\vec{b} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$

Geometrisch lässt sich das Skalarprodukt auch als Multiplikation der Länge des ersten Vektors mit der Länge der Projektion des zweiten Vektors auf den ersten Vektor verstehen. Daher ist das Skalarprodukt zweier orthogonal aufeinander stehender Vektoren immer 0. Für das Skalarprodukt gilt das Kommutativgesetz und das Distributivgesetz.

Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt wird mit einem Kreuz als Multiplikationszeichen geschrieben:

$\vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}$

Im gewöhnlichen dreidimensionalen Raum $\mathbb{R}^3$ kann man das Kreuzprodukt von a und b so definieren:

$\vec{a}\times\vec{b} = \left|\vec{a}\right| \left|\vec{b}\right| \sin(\theta) \cdot \vec{e}$

wobei $sin(\theta)\,$ der Sinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels $\theta\,$, $\vec{e}$ der zu beiden Vektoren senkrechte Einheitsvektor und $\vert\vec{a}\vert$, $\vert\vec{b}\vert$ die jeweiligen Längen (Beträge) der Vektoren sind.

Für den Standardfall, dass der R³ mit dem kanonischen Skalarprodukt und der Orthonormalbasis {e₁=(1,0,0), e₂=(0,1,0), e₃=(0,0,1)} versehen ist, folgt aus der allgemeinen Definition auch die Formel für die Komponenten:

$\vec{a}\times\vec{b} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -a_3 & a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}$

Es gilt:

Distributivgesetz

$\vec{a}\times(\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a}\times\vec{b} + \vec{a}\times\vec{c}$

und

$(\vec{a} + \vec{b})\times\vec{c} = \vec{a}\times\vec{c} + \vec{b}\times\vec{c}$.

Assoziativgesetz $\lambda$ sei aus $\mathbb{R}$.

$(\lambda\vec{a})\times\vec{b} = \lambda(\vec{a}\times\vec{b}) = \vec{a}\times(\lambda\vec{b})$.

"antikommutativ"

$\vec{a}\times\vec{b} = - (\vec{b}\times\vec{a})$

Graphisch lässt sich das Kreuzprodukt darstellen als:

Der Betrag von $\vec a\times\vec b$ entspricht der Fläche des von $\vec a$ und $\vec b$ aufgespannten Parallelogramms.

Kraft

Die Kraft ist eine abgeleitete Größenart. Sie wird in der Mechanik meist mit dem Formelbuchstaben F abgekürzt. Kräfte haben einen Betrag und eine Richtung. Sie sind vektorielle Größen und können entlang ihrer Wirkungslinie verschoben werden. Die Basiseinheit der Kraft ist das Newton, benannt nach dem britischen Wissenschaftler Sir Isaac Newton (*1643 - †1727). Das Einheitenzeichen für die Kraft ist N.

Kraft = Masse x Beschleunigung

Ausgedrückt mit Formelzeichen

$F\ =\ m\cdot a$

Die abgeleitete Einheit Newton ist also definiert als

$1\;\mathrm{N} = 1\;\mathrm{kg}\;\cdot\; 1\;\mathrm{\frac{m}{s^2}}$

Eine Kraft ist in der Realität nicht sichtbar. Nur die Auswirkungen, die durch eine Kraft hervorgerufen werden sind fühl- oder beobachtbar.

Beispiel: Trägheit

1. Newtonsches Axiom (Trägheitsprinzip): Jeder Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder einer geradlinigen gleichförmigen Bewegung, solange keine äußere Kraft auf ihn einwirkt (bzw. die Summe der auf ihn einwirkenden Kräfte Null ist).

$\boldsymbol{F} = m \cdot \boldsymbol{a}= \mathbf{0} \quad \Rightarrow \quad \boldsymbol{a}= \mathbf{0} \quad \Rightarrow \quad \boldsymbol{v}= konst.$

Umgekehrt gilt, dass jeder frei bewegliche Körper unter einer Krafteinwirkung eine Geschwindigkeitsänderung erfährt, er wird beschleunigt. Eine negative Beschleunigung wird auch als Verzögerung bezeichnet.

Der Kraftvektor

$\boldsymbol{F}=F_1\boldsymbol{e}_1+F_2\boldsymbol{e}_2+F_3\boldsymbol{e}_3=\sum_{i=1}^3 F_i\;\boldsymbol{e}_i$

$|\boldsymbol{F}|=\sqrt{F_1^2+F_2^2+F_3^2}$

Momente

Momente werden meist mit dem Formelzeichen M bezeichnet. Man bezeichnet mit ihr die drehende Wirkung, die von einem entgegengesetzt gerichteten, gegeneinander in der Wirkungslinie versetzten, gleich großen Paar und gleich großer Kräfte ausgeübt wird. Ihre Dimension ist Kraft mal Strecke, ihre Einheit $\mathrm{N\cdot m}$ (Newton mal Meter).

Vorsilben für Einheiten

Faktor	Vorsilbe	Vorsilbenzeichen
1018	Exa	E
1015	Peta	P
1012	Tera	T
109	Giga	G
106	Mega	M
103	Kilo	k
102	Hekto	h
101	Deka	da
10-1	Dezi	d
10-2	Zenti	c
10-3	Milli	m
10-6	Mikro	$\mu$
10-9	Nano	n
10-12	Pico	p
10-15	Femto	f
10-18	Atto	a

Ein paar Regeln für Schreibweisen im SI-System

• Zwischen Zahlenwert und Einheit ist normalerweise ein Leerraum zu setzen:

Richtig: 125 kg

Falsch: 125kg

• Ausnahme von obiger Regel bei Winkelangaben in Grad , Minuten, Sekunden:

Richtig: 10°12'35''

Falsch: 10 ° 12 ' 35 ''

• Einheiten werden nie in Klammern gesetzt:

Richtig: kg

Falsch: [kg]

• $[v]=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ bedeutet "Die Einheit der Geschwindigkeit ist Meter pro Sekunde."
• Bereichsangaben:

Richtig: 10 cm bis 20 cm

Falsch: 10 - 20 cm

• Einheit mal Einheit, z.B. Meter mal Sekunde:

Richtig: $\mathrm{m\cdot s}$

Falsch: ms (wäre Millisekunde)

• Einheitensymbole und Zahlenwerte werden in gerader Schrift (roman) geschrieben, Formelzeichen in Schrägschrift (italic):

A = Die Einheit Ampere

A = Area, Fläche

• Mehrere Vorsilben dürfen nicht miteinander verknüpft werden:

Richtig: 1 t , 10³ kg

Falsch: 1 kkg

Weblinks

• Wikipedia: Internationales Einheitensystem
• Wikipedia: Meter
• Wikipedia: Sekunde
• Wikipedia: Kilogramm
• Wikipedia: Kraft
• Wikipedia: Gravitationskonstante
• Wikipedia: Erdbeschleunigung
• Taylor: Guide for the Use of the International System of Units (SI), NIST, 1995

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