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Schrödinger

Wenn das Elektron eine stehende Welle ist, warum sollte es (sie) auf einen Kreis beschränkt sein? Nach de Broglies entscheidender Erkenntnis, dass Partikel Wellen einer gewissen Sorte sind, dauerte es weniger als drei Jahre, bis die vollentwickelte Quantentheorie nicht nur ein mal, sondern zwei mal, gefunden wurde: 1925 durch Werner Heisenberg und 1926 durch Erwin Schrödinger. Wenn wir das Elektron als eine stehende Wellen in drei Dimensionen betrachten, haben wir alles, was man braucht, um bei der Schrödingergleichung anzukommen, dem Herz der vollentwickelten Theorie.

Bleiben wir in einer Raumdimension. Die einfachste mathematische Beschreibung einer Welle mit Wellenzahl $k=2\pi/\lambda$ und Kreisfrequenz $\omega = 2\pi/T = 2\pi\nu$ ist die Funktion

$\psi(x,t) = e^{i(kx-\omega t)}$.

Wir wollen die Phase $\phi(x,t) = kx-\omega t$ durch die Energie des Elektrons $E=h\nu=\hbar\omega$ und seinen Impuls $p=h/\lambda=\hbar k$ ausdrücken:

$\psi(x,t)=e^{i(px-Et)/\hbar}$.

Die partiellen Ableitungen nach $x$ und $t$ sind

${\partial\psi\over\partial x}={i\over\hbar}p\psi\quad\hbox{und}\quad {\partial\psi\over\partial t}=-{i\over\hbar}E\psi$.

Wir brauchen auch die zweite partielle Ableitung von $\psi$ nach $x$:

${\partial^2\psi\over\partial x^2} = \left({ip\over\hbar}\right)^2\psi$.

Wir haben also

$E\psi=i\hbar{\partial\psi\over\partial t},\quad p\psi=-i\hbar{\partial\psi\over\partial x},\quad\hbox{und}\quad p^2\psi=-\hbar^2{\partial^2\psi\over\partial x^2}$.

In nichtrelativistischer, klassischer Physik stehen die kinetische Energie und der kinetische Impuls $p$ in einer Dispersionsrelation

$E=p^2/2m$.

Diese Beziehung gilt auch in der nichtrelativistischen Quantenphysik. Du wirst später lernen, warum.

In drei Raumdimensionen ist $p$ der Betrag eines Vektors $\textbf{p}$. Wenn das Partikel auch potentielle Energie $V(\textbf{r},t)$ und einen potentiellen Impuls $\textbf{A}(\textbf{r},t)$ hat (dann ist es nicht frei), und wenn $E$ und $\textbf{p}$ respektive für die komplette Energie und den kompletten Impuls des Partikels stehen, ist die Dispersionsrelation

$E-V = (\textbf{p}-\textbf{A})^2/2m$.

Mit dem Quadrat eines Vektors $\textbf{v}$ meinen wir das Skalarprodukt $\textbf{v} \cdot \textbf{v}$. Du wirst später lernen, warum wir mögliche Einflüsse auf die Bewegung eines Partikels durch solche Felder als $V(\textbf{r},t)$ und $\textbf{A}(\textbf{r},t)$ darstellen.

Wenn wir zu unserer fiktiven Welt mit nur einer Raumdimension zurückkehren, eine potentielle Energie $V(x,t)$ erlauben, die Differentialoperatoren $i\hbar{\partial\over\partial t}$ und $-\hbar^2 {\partial^2\over\partial x^2}$ für $E$ und $p^2$ in der sich ergebenden Dispersionsrelation substituieren, und wenn wir beider Seiten der so entstandenen Operatorgleichung auf $\psi$ anwenden, erhalten wir die eindimensionale (zeitabhängige) Schrödingergleichung:

$i\hbar{\partial\psi\over\partial t}=-{\hbar^2\over2m}{\partial^2\psi\over\partial x^2}+V\psi$

In drei Raumdimensionen and mit sowohl potentieller Energie $V(\textbf{r},t)$ als auch potentiellem Impuls $\textbf{A}(\textbf{r},t)$, nehmen wir die Relation $E-V = (\textbf{p}-\textbf{A})^2/2m$ als Ausgang und substituieren $i\hbar{\partial\over\partial t}$ für $E$ und $-i\hbar{\partial\over\partial\textbf{r}}$ für $\textbf{p}$. Der Differentialoperator ${\partial\over\partial\textbf{r}}$ ist ein Vektor, dessen Komponenten die Differentialoperatoren $\left({\partial\psi\over\partial x},{\partial\psi\over\partial y},{\partial\psi\over\partial z}\right)$ sind. Das Ergebnis:

$i\hbar{\partial\psi\over\partial t} = \frac{1}{2m} \left(-i\hbar{\partial\over\partial\textbf{r}} - \textbf{A}\right)^2\psi + V\psi$,

wobei $\psi$ nun eine Funktion von $\textbf{r}=(x,y,z)$ und $t$ ist. Das ist die dreidimensionale Schrödingergleichung. In nicht-relativistischen Untersuchen (auf welche die Schrödingergleichung beschränkt ist) kann der potentielle Impuls normalerweise ignoriert werden, warum die Schrödingergleichung oft in dieser Form angegeben wird:

$i\hbar{\partial\psi\over\partial t}=-{\hbar^2\over2m} \left({\partial^2\psi\over\partial x^2} + {\partial^2\psi\over\partial y^2} + {\partial^2\psi\over\partial z^2}\right)+V\psi$

Die freie Schrödingergleichung (sogar ohne den Term für die potentielle Energie) wird durch $\psi(x,t) = e^{i(kx-\omega t)}$ (in einer Dimension) oder $\psi(\textbf{r},t) = e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}$ (in drei Dimensionen) erfüllt, wenn $E=\hbar\omega$ gleich $p^2/2m=(\hbar k)^2/ 2m$ ist, was gleichbedeutend ist mit: $\omega(k)=\hbar k^2/2m$. Da wir es jedoch mit einer homogenen, linearen Differentialgleichung zu tun haben — was uns sagt, dass man zu Lösungen eine Konstante addieren oder Lösungen mit einer Konstante multiplizieren kann, um auf weitere Lösungen zu kommen — löst jede Funktion der Form

$\psi(x,t) = {1\over\sqrt{2\pi}}\int \overline{\psi}(k)\,e^{i[kx-\omega(k)t]}dk= {1\over\sqrt{2\pi}}\int \overline{\psi}(k,t)\,e^{ikx}dk$

mit $\overline{\psi}(k,t) = \overline{\psi}(k) e^{-i\omega(k)t}$ die (eindimensionale) Schrödingergleichung. Wenn keine Integrationsgrenzen angegeben werden, integrieren wir über die gesamte reelle Achse, dass heißt, das Integral ist als der Grenzwert $\lim_{L\rightarrow\infty}\int_{-L}^{+L}$ definiert. Die umkehrung gilt auch: jede Lösung ist von dieser Form. Der Faktor vor dem Integral existiert nur zu kosmetischen Zwecken, wie du gleich verstehen wirst. $\overline{\psi} (k,t)$ ist die Fouriertransformation von $\psi(x,t)$, was bedeutet, dass

$\overline{\psi}(k,t)={1\over\sqrt{2\pi}}\int \psi(x,t)\,e^{-ikx}dx$.

Die Fouriertransformation von $\psi(x,t)$ existiert, weil das Integral $\int|\psi(x,t)|dx$ endlich ist. Im nächsten Abschnitt werden wir den physikalischen Grund kennenlernen, warum das Integral endlich ist.

Jetzt haben wir die Bedingung, die jede "Elektronenwellenfunktion" erfüllen muss, damit die entsprechende Dispersionsrelation erfüllt ist. Wenn sie (und dadurch die Schrödingergleichung) eines oder beide der Potentiale $V$ oder $\textbf{A}$ enthält, kann das Finden von Lösungen schwer sein. Als ein angehender Quantenmechaniker wirst du eine beachtliche Zeit damit zubringen, zu lernen, Schrödingergleichungen mit verschiedenen Potentialen zu lösen.

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