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Einführung in die Theoretische Physik - Ein Lehrbuch in mehreren Bänden, 15. Teil

Inhaltsverzeichnis 1 Varianten der klassischen Mechanik 1.1 Der eindimensionale harmonische Oszillator in der Newton'schen Mechanik 1.2 Koordinatentransformationen 1.3 D'Alembert'sches Prinzip der virtuellen Arbeit 1.4 Lagrange'sche Mechanik 1.5 Hamilton'sche Bewegungsgleichungen 1.6 Hamilton-Jacobi-Theorie 1.7 Erweiterung auf Vielteilchensysteme 1.8 Erweiterung auf mehrdimensionale Systeme 1.9 Extremalprinzip für die Hamiltonfunktion; kanonische Transformationen 1.10 Weitere Beispiele 1.11 Referenzen

[Bearbeiten] Varianten der klassischen Mechanik

Vorangegangene Kapitel haben bereits gezeigt, dass in der klassischen Mechanik (d.h. wenn noch nicht die Notwendigkeit besteht, relativistische oder quantenmechanische Systeme zu betrachten) Newtons Axiome völlig genügen, um Bewegungen von Körpern zu beschreiben. Dennoch zeigt ein Blick in Lehrbücher der theoretischen Mechanik, dass es neben Newtons Mechanik noch andere Varianten geben muss:

• Das d'Alembert'sche Prinzip,

• die Lagrange'sche Mechanik,

• die Hamilton'sche Mechanik und

• die Hamilton-Jacobi-Theorie.

In den folgenden Kapiteln möchten wir daher diskutieren, was es mit diesen Prinzipien, Mechaniken und Theorien auf sich hat. Und genau an dieser Stelle geraten wir in einen Zwiespalt: Denn einerseits muss erklärt werden, was darunter verstanden wird und andererseits, wozu man diese Anstrengung überhaupt unternimmt. Damit insbesondere in einem einführenden Werk das Verständnis dieser Konzepte nicht durch zu komplizierte mathematischen Formalismen verhindert wird, beschränken wir uns zunächst auf einen einzelnen punktförmigen "Körper" (den wir meist auch "Teilchen" nennen werden), der sich in einem (quasi) eindimensionalen Raum bewegt. Als durchgängiges Beispiel verwenden wir den sog. eindimensionalen "Oszillator", den man sich z.B. als Federpendel realisiert denken kann. Die hieraus gewonnenen Erkenntnisse übertragen wir dann auf eindimensionale Vielteilchensysteme. Durch das Beschränken auf eine Dimension umgehen wir an vielen Stellen die Schwierigkeit, an die betrachteten mechanischen Systeme stellbare Zwangsbedingungen berücksichtigen zu müssen. Dies holen wir aber in einem eigenen Kapitel nach, da die Vorzüge jener Mechanik-Varianten z.T. erst bei Systemen in mehreren Raumdimensionen deutlich werden, wenn Zwangsbedingungen vorhanden sind.

Die Bedeutung dieser theoretischen Konzepte ragt übrigens bis in die moderne Physik hinein: In den sog. quantenfeldtheoretischen Beschreibungen z.B. der Festkörper- oder der Elementarteilchenphysik wird hierauf gerne zurückgegriffen.

[Bearbeiten] Der eindimensionale harmonische Oszillator in der Newton'schen Mechanik

[Bearbeiten] Koordinatentransformationen

[Bearbeiten] D'Alembert'sches Prinzip der virtuellen Arbeit

[Bearbeiten] Lagrange'sche Mechanik

[Bearbeiten] Hamilton'sche Bewegungsgleichungen

[Bearbeiten] Hamilton-Jacobi-Theorie

[Bearbeiten] Erweiterung auf Vielteilchensysteme

[Bearbeiten] Erweiterung auf mehrdimensionale Systeme

[Bearbeiten] Extremalprinzip für die Hamiltonfunktion; kanonische Transformationen

[Bearbeiten] Weitere Beispiele

[Bearbeiten] Referenzen

1. F. Scheck, Theoretische Physik 1: Mechanik. Von den Newton'schen Gesetzen zum deterministischen Chaos (Springer, 2007).
2. A. Sommerfeld, Band 1: Mechanik. (Harri Deutsch, 1977).
3. M.R. Spiegel, Allgemeine Mechanik (Schaum's Outline).
4. M.R. Spiegel, Höhere Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler (Schaum's Outline).
5. A. Lindner, Grundkurs Theoretische Physik (Teubner, 1997).