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[Bearbeiten] $E = m c 2$

Ziel dieses Artikels ist es Einsteins berühmte Formel auf einfache Weise in Kürze herzuleiten. Es werden nur grundlegenden Kenntnissen in Arithmetik und Geometrie vorausgesetzt. Der Reiz des Artikels ist eine Herleitung von $E = m c 2$ ohne Rückgriff auf Infinitesimalrechnung.

Inhaltsverzeichnis

1 E = mc²

[Bearbeiten] Satz von Pythagoras $a 2 + b 2 = c 2$

Die Fläche eines Rechtecks mit den Kantenlängen a und b ist a · b Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks mit den kurzen Seiten (Katheten) a und b ist a · b /2

In ein großes Quadrat mit der Seitenlänge c sind 4 rechtwinklige Dreiecke mit den kurzen, senkrecht aufeinander stehenden Seiten a und b wie folgt eingezeichnet. Die Kantenlänge des kleinen Quadrats ist b-a. Die Fläche für das kleine Quadrat ist somit $(b - a) 2$ .

Die Fläche des großen Quadrats $c 2$ setzt sich aus den Flächen der 4 Dreiecke (jeweils $a \cdot b/2$ ) und der des Quadrats in der Mitte $(a - b) 2$ zusammen.

Der Satz von Pythagoras ergibt sich wie folgt:

$c^2 = 4 \cdot a \cdot b/2 + (a-b)^2 = 2\cdot a\cdot b + a^2 - 2\cdot a\cdot b + b^2 = a^2 + b^2.$

$c 2 = a 2 + b 2$

[Bearbeiten] Zeitdilatation in einem bewegten Koordinatensystem

Wir bedienen uns hierzu eines Gedankenexperiments. Commander Spock im Raumschiff Enterprise fliegt zum Zeitpunkt t=0 an der Erde vorbei. In diesem Moment erzeugt Commander Spock einen Lichtblitz, der sich quer zur Flugrichtung der Enterprise ausbreitet. Bezeichet man die Breite des Raumschiffs mit B braucht der Lichtblitz im Raumschiff die Zeit $t Enterprise$ mit $B = c \cdot t_{\mathrm{Enterprise}}$ .

Von der Erde aus betrachtet nimmt der Lichtblitz einen schräg zur Flugbahn gerichteten Verlauf, da sich die Enterprise ja zusätzlich mit der Geschwindigkeit v an der Erde vorbei bewegt. Während der Erdzeit $t Erde$ bewegt sich der Lichtblitz mit der Geschwindigkeit c um die Strecke $AE = c \cdot t_{\mathrm{Erde}}$ von A nach E. Während dieser Zeit bewegt sich das Raumschiff um die Strecke $v * t Erde$ vorwärts. B bezeichnet wieder die Breite des Raumschiffs.

Nach Pythagoras ist demzufolge $(c \cdot t_{\mathrm{Erde}})^2 = (v \cdot t_{\mathrm{Erde}})^2 + B^2$ . B können wir durch $c \cdot t_{\mathrm{Enterprise}}$ für die bei Mr. Spock vergangene Zeit ersetzen, um die gewünschte Beziehung zwischen $t Erde$ und $t Enterprise$ zu erhalten

$(c \cdot t_{\mathrm{Erde}})^2 = (v \cdot t_{\mathrm{Erde}})^2 + (c \cdot t_{\mathrm{Enterprise}})^2$ : $t_{\mathrm{Enterprise}} = \sqrt{(1-v^2/c^2)} \cdot t_{\mathrm{Erde}}$ oder

Formel 1: $t' = \sqrt {\left( 1-v^2/c^2 \right)} \cdot t$ t’ = Zeitintervall im bewegten Koordinatensystem

Diese Beziehung sollte man sich nochmals veranschaulichen. Für v=1/2 c ergibt sich $t' = \sqrt{3}/2\cdot t$ . Während auf der Erde z.B. eine Sekunde vergeht, verstreichen für Commander Spock nur 0,86 Sekunden. Das Ergebnis ist eigentlich nicht verwunderlich. Zeit wird mit Uhren gemessen. Uhren sind Apparaturen, deren Teile durch elektromagnetische Wechselwirkung zusammengehalten werden. Letztere breitet sich aber mit Lichtgeschwindigkeit aus. Da die Lichtgeschwindigkeit endlich ist, wirkt sich die Bewegung einer Uhr auf deren Funktionsablauf aus und beeinflusst deshalb ihre scheinbare Ganggeschwindigkeit.

[Bearbeiten] Masse in einem bewegten Koordinatensystem

Hierzu nehmen wir an Captain Kirk und Commander Spock spielen im Raumschiff Billard. Sie spielen die gleichschweren Kugeln fast in Längsrichtung des Raumschiffs. In der Mitte des Tisches treffen sie tangential aufeinander und fliegen mit nur geringer Richtungsänderung weiter.

Ist die Längsgeschwindigkeit der Kugeln genau die Geschwindigkeit des Raumschiffs, so erscheint dies von der Erde betrachtet wie folgt:

Die Kugel B mit der Ruhemasse $m 0$ bewegt sich mit nur geringer (nichtrelativistischer) Geschwindigkeit $v B$ quer zur Flugrichtung des Raumschiffs, wird von der Kugel A mit hoher Geschwindigkeit $v Kugel$ gestreift und in umgekehrter Richtung mit gleicher Geschwindigkeit $v B$ zurückgestossen. Kugel B erfährt somit eine Impulsänderung quer zur Flugrichtung der Enterprise von $2 \cdot m_0 \cdot v_\mathrm{B}$ . Für die Kugel A beträgt die Impulsänderung in Querrichtung $2 \cdot m \cdot v_\mathrm{A}$ . Soll der Impulserhaltungssatz weiterhin gelten, bedeutet dies $m \cdot v_\mathrm{A} = m0 \cdot v_\mathrm{B}$ . Vorsorglich nehmen wir an, dass die träge Masse $m$ der Kugeln in Bewegung nicht konstant ist d.h. $m \not= m_0$ . $v A$ ist dabei die Geschwindigkeitskomponente in Querrichtung, welche wesentlich geringer ist als $v Kugel$ . Um eine bestimmte Strecke $S$ zurückzulegen, braucht die Kugel B die Zeit tB. Es gilt $S = v_B \cdot t_B$ und entsprechend $S = v_\mathrm{A} \cdot t_\mathrm{A}$ . Somit gilt $v A / v B = t B / t A$ . Aus Symmetriegründen legt in einem Koordinatensystem in dem sich die Kugel A nur in Querrichtung bewegt, diese Kugel A die Strecke $S$ ebenfalls in der Zeit $t B$ zurück. $t B$ transformiert sich nach Formel 1 in das Bezugssystem der Kugel B wie folgt $tB = \sqrt {(1- v_{\mathrm{Kugel}}^2/c^2)}\cdot t_\mathrm{A}$ . $v_\mathrm{A}/v_\mathrm{B} = \sqrt {(1- v_{\mathrm{Kugel}}^2/c^2)}$ .

Nach dem Impulserhaltungssatz $m \cdot v_\mathrm{A} = m0 \cdot v_\mathrm{B}$ ergibt sich $m = m0 \cdot v_\mathrm{B}/v_\mathrm{A}$ und somit:

Formel 2: $m = m0 / \sqrt {(1-v^2/c^2)}$ . Eine Körper mit der Ruhemasse m0 verhält sich in Bewegung so, als hätte er die Masse $m$ . Für $v$ gleich halbe Lichtgeschwindigkeit gilt z.B. $m = 1.16 \cdot m_0$ .

Die Massentransformation läßt sich wie folgt umformen:

$m^2 \cdot (1-v^2/c^2) = m_0^2$

$m^2 \cdot c^2 - m^2 \cdot v^2 = m_0^2 \cdot c^2$

$m^2 \cdot c^2 = m_0^2 \cdot c^2 + m^2 \cdot v^2$

Unter Anwendung des Satzes von Pythagoras kann man in ein rechtwinkliges Dreieck die Strecken $m_0 \cdot c$ , $m \cdot v$ und $m \cdot c$ eintragen.

[Bearbeiten] $E = m c 2$

Energie = Kraft * Weg. E = F * s. Beispiel: Ein Mensch steigt z.B. 5 Stockwerke hoch. Weg = zurückgelegte Höhendifferenz (15m). Kraft ergibt sich aus der Erdbeschleunigung 9,8 m/sec^2 * Masse (70kg). Die Energie die hierfür aufzuwenden ist, ist z.B. unabhängig davon in welcher Zeit, auf welchem Weg und mit welcher Geschwindigkeit der Aufstieg erfolgt. E = 15m * 9,8m/sec^2 * 70kg = 10290 kg*m^2/sec^2 = 10290 Ws = 2,86 Wh.

Wirkt eine Kraft F nur über eine kurze (infinitesimale) Strecke ds ergibt sich eine kleine Änderung der Energie um den Betrag dE. $d E = F * d s$ .

Kraft = Änderung des Impulses / Zeit = Änderung von ( Masse * Geschwindigkeit) / Zeit. Ist die Masse konstant ergibt sich daraus die bekannte nichtrelativistische Beziehung Kraft = Masse * Änderung der Geschwindigkeit pro Zeit oder Masse * Beschleunigung. Ist die Masse von der Geschwindigkeit abhängig wird die Kraft nicht nur für die Zunahme der Geschwindigkeit gebraucht, sondern auch in eine Zunahme der Masse eingebracht und es gilt:

$F = d (m * v) / d t$ . $d t$ bezeichnet ein kurzes Zeitintervall, in dem sich der Impuls $m * v$ um den kleinen Betrag $d (m * v)$ ändert.

Hieraus folgt mit $d E = F * d s$ :

$d E = F * d s = d (m * v) / d t * d s = d (m * v) * v$ , da $v = d s / d t$ .

Formel 3: $d E = d (m * v) * v$

$d (m * v)$ läßt sich, wie aus folgender Grafik ersichtlich, durch $d (m * c)$ ausdrücken.

Eine kleine Änderung der Kathete $m * v$ um $d (m * v)$ geht mit einer Änderung der Hypothenuse $m * c$ um $d (m * c)$ einher. Aus der Ähnlichkeit des kleinen und des großen Dreiecks folgt:

$d (m * c) / d (m * v) = m * v / m * c = v / c$ . $d (m * c) = d (m * v) * v / c$ . Da c konstant ist gilt $d (m * c) = d m * c$ . Hieraus folgt: $d m * c 2 = d (m * v) * v$ Zusammen mit Formel 3 ergibt sich:

$d E = d m * c 2$

Jeder Zunahme der kinetischen Energie eines bewegten Körpers um dE entspricht einer Massenzunahme um dm. Aus der Summation über mehrere kleine Masseänderungen und der Verallgemeinerung, dass jede Energie einer Masse äquivalent ist, ergibt sich $E = m * c 2$ .

Hinweis: Es gibt Zweifel, ob alle Herleitungen in diesem Buch korrekt sind. Verbessere es, wenn du kannst!

Wikibooks:Abstellraum: Naturwissenschaften und Technik: E=mc^2

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