Zahlengerade/ Bruchungleichungen

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Da man hartnäckige Ablehner mit diesem einfachen Beispiel vielleicht nicht überzeugen kann, lege ich ein Beispiel aus dem Bereich “Bruchungleichungen” vor, das dann meist Wirkung zeigt, ich denke, sobald die Endstufe TUF drei oder mehr Klammern enthält, wird jeder die Überlegenheit der Termbewertung akzeptieren (müssen), z.B. $\frac { (x -2)(x+3) } { x -1 } \ge 0$

Typ Bruchungleichungen $\frac{x+1}{x+2} > \frac{x+5}{x+4}$

Lösungsstrategie I: (Termbewertungsmethode)

$\frac { x + 1 } { x + 2 } - \frac { x + 5 }{ x + 4 } > 0$

1. Schritt bei fast allen Gleichungen/Ungleichungen ist alles auf einen Nenner zu bringen:

$\frac { ( x + 1 )( x + 4) - (x+5)(x+2)} { (x + 2)(x+4) }> 0$ $\frac { x^2 + 5x + 4-x^2-7x-10 }{ (x + 2)(x+4) }> 0$ $\frac { -2(x+3) }{ (x + 2)(x+4) }> 0$

$L = ]-\infty;-4[ \cup ]-3;-2[$

1) Hier ist das Problem “D” automatisch (nicht formelhaft) eingearbeitet. nd: nicht definiert, vgl. Lösungsstrategie II

Lösungsstrategie II: (Konjunktions - Adjunktionsmethode, Fallunterscheidungen)

$\frac { x + 1 } { x + 2 } > \frac { x + 5 }{ x + 4 } / (x+2)(x+4)$

1. Fall / 1. Voraussetzung $(x+2)(x+4) > 0 \to \ldots\ldots$

Da sich diese Anregung zunächst, zuerst an Fachleute (Lehrer) richtet, führe ich den Rest nicht weiter aus. Er ist so auch in den verbreiteten Lehrbüchern abgehandelt. Der Komplette Lösungsweg nimmt den etwa dreifachen Umfang ein wie bei Lösungsstrategie I.

Zu dieser Aufgabe habe ich drei Aussagen von Kollegen gehört:
a)nicht zielführend, d.h. kommt in der Kollegstufe nicht vor.
b)Konventionelle Lösungsstrategie hat Eigenwert; d.h. der Schüler soll/muss sich den von ihm gehassten Fallunterscheidungen stellen (können).
c)Konventionelle Lösungsstrategie ist einfach(er). Dies hat allen Ernstes ein Fachkollege, der seinerzeit auch Schulleiter war, behauptet und wurde vom Fachbetreuer dahingehend unterstützt.

Diese Aussagen will ich nicht kommentieren, allenfalls will ich bzgl. a) auf unten folgende Ausführungen und Beispiele aus dem Bereich der Kollegstufe verweisen. Bevor ich in der o.g. Pyramide in diesen Bereich “aufsteige”: es gibt im Bereich der Sekundarstufe viele weitere Anwendungsbereiche der Termbewertung oder (m.a.W.) der Methode der besonderen Punkte, oder auch nur des Einsatzes der Zahlengeraden, etwa im Bereich des Umgangs mit Betragstermen, bzw. Gleichungen und Ungleichungen, die Betragsterme enthalten.

Zunächst aber möchte ich auf einige Aspekte, Begriffe, Algorithmen eingehen, die im herkömmlichen System einen hohen Stellenwert haben.

a) Definitionsmenge
b) Grundmenge
c) Lösungsmenge
d) Äquivalente bzw. nicht äquivalente Umformungen (Stichworte: Kürzen, Durchmultiplizieren, Durchteilen)
e) Unterschiedliche Lösungsstrategien bei Gleichungen und Ungleichungen
f) Fallunterscheidungen - sie verlieren stark an Gewicht oder werden ganz “umgangen”.

zu a)
Die Grundmenge kann an der Zahlengeraden markiert werden, sofern sie sich im Verlauf überhaupt noch von R unterscheidet, z. B.

!!! Grafik !!! zu b)
Der Einsatz des nd - Symbols auf der Zahlengeraden “erledigt” dieses Problem, z.B.

I: $\frac {x}{(x+1)(x-2)}$

!!! Grafik !!!

II: $\frac {1}{\sqrt {(x+1)(x-2)}}$ !!! Grafik !!! zu c) Die Lösungsmenge wird einfach aus der Zahlengeraden abgelesen, abgeschrieben, s.o.

zu d) Verwirft man die in Klammern genannten Strategien, ist dieses Problem auch “vom Tisch” Beispiele: I) $x 2 - 2 x = x | : x$ $x - 2 = 1$ x = 3 L = {3}, so lösen gewiss viele Schüler diese Aufgabe.

Stattdessen: $x 2 - 3 x = 0;$ $x (x - 3) = 0;$ “Spruch…”, s.o. L = {0;3}

II) zum “Durchmultiplizieren mit dem HN” siehe obiges Beispiel, , also nein, warum sollte man bei Gleichungen eine andere Strategie wählen?

III) Endstufe TUF : $\frac {(x-2)^2(x-1)^2}{x-1}$ !!! Grafik !!! T = 0 L = {2}, nicht kürzen!

zu e) Diese gibt es nicht mehr, s.o. d III, T ≥ 0, L = ] 1 ; ∞ [

zu f) Diese entfallen auch, s.o., es sei denn die Aufgabe enthält Parameter, s.u., ax > 3 oder $ax^2 + 2x + 1 \le 0$ , da benötigt man 3 Zahlengeraden für a = 0, a > 0, a < 0.

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