Zahlengerade/ Grobskizze

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dem Vorhergehenden die Strategie der Erstellung einer Grobskizze vorab, die als Kontrollinstrument die Bearbeitung der Aufgabe im Detail begleitet. Für die Erstellung der Grobskizze sollen in der Regel keine oder nur in sehr geringem Umfang Rechnungen durchgeführt werden, stattdessen gedacht und argumentiert werden. Der Zeitaufwand sollte auf die Größenordnung von 5 - 7 Minuten trainiert werden, oft geht es noch schneller. Der Schüler darf und soll dabei auch Informationen verwenden, die explizit oder implizit im Aufgabentext gegeben, manchmal auch “versteckt” sind. Ich demonstriere dies an der Abituraufgabe Grundkurs Mathematik, Infinitesimalrechnung

Gegeben ist die Funktion f: x (x+1)2e1-x mit Df = IR Der Graph wird mit Gf bezeichnet. Hinweis: Im folgenden darf ohne Beweis verwendet werden:

 für alle n  IN.

1. a) Bestimmen Sie das Verhalten von f für x + und für x -.

         	Ermitteln Sie die Schnittpunkte von Gf mit den Koordinatenachsen, und geben Sie 

die Wertemenge von f an.

b) Bestimmen Sie Art und Lage der Extrempunkte von Gf. zur Kontrolle: f´(x) = (1 – x2)e1-x

c) Berechnen Sie f(-1,25), f(3) sowie f(5), und zeichnen Sie Gf unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse im Bereich -1,25  x  5 (Längeneinheit 1 cm, Platzbedarf im Hinblick auf das folgende: -6  y  6).

y = f(x) = (x+1)2 e1-x :

y :

Information: Die Kurve verläuft im gesamten D-Bereich oberhalb der x-Achse, bei x0 = -1 berührt er sie von oben (rel. Min.). Sie "kommt von" +  und geht für x  + gegen 0 (rechtsseitige waagerechte Asymptote ist die x-Achse). Aufgrunddessen läßt sich die Grobskizze schon erstellen, zugleich ist die Teilaufgabe 1a) in der nach den Grenzwerten, Nullstellen bzw. Achsenschnittpunkten und der Wertemenge gefragt ist, inhaltlich bereits erledigt.

Da in der Angabe das Zwischenergebnis für f `= (1–x2) e1-x zur Kontrolle angegeben ist, kann man dieses ohne weitere Rechnung auch mit der Termbewertung bearbeiten und findet die Bestätigung/Bekräftigung schon gewonnenen Erkenntnisse

y´:

Somit sind in wenigen Minuten 21 der 40 Rohpunkte "im Sack" also mehr als 50%.

Das Problem der Wendepunkte ist in der Aufgabe nicht angesprochen. Ich möchte aber bei dieser Gelegenheit darauf hinweisen, dass man nunmehr ohne Verwendung der zweiten Ableitung, also auch ohne jede weitere Rechnung die Existenz von zwei Wendepunkten rein argumentativ begründen kann.

Da es bei dem vorgelegten Konzept auch immer wieder um Rechenvermeidungs-strategien geht, sollte ich an dieser Stelle einen weiteren "Satz" anführen, den ich bisher in keinem Lehrbuch fand: Jeder Punkt einer Kurve, der Symmetriezentrum der dort stetigen Kurve ist, ist zugleich Wendepunkt (die Umkehrung gilt natürlich nicht, s.o.). Mit Hilfe dieses Satzes kann man ohne jede Rechnung, also ohne die 2.Ableitung zu berechnen, die Teilaufgabe 1c, Grundkursabitur Bayern 2001, Infinitesimalrechnung I, siehe nachstehenden Text, was das Stichwort “Wendepunkt” betrifft, lösen, wenn man noch mit der Konvexen und konkaven Annäherung an die senkrechten Asymptoten argumentiert.

Grundkurs Mathematik(Bayern): Abiturprüfung 2001 Infintesimalrechnung I

Gegeben ist die Funktion f: x ln(4 + x) – ln(4 – x) mit der Definitionsmenge Df = -4 ;4.

Gf bezeichnet den Graphen von f.

1. a) Untersuchen Sie f auf Nullstellen und ermitteln Sie das Verhalten von f an den

         	Rändern des Definitionsbereichs.

b) Zeigen Sie, dass Gf punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung verläuft.

c) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von f. Weisen Sie nach, dass Gf genau einen Wendepunkt besitzt und berechnen Sie dessen Koordinaten.