Zahlengerade/ Kurvendiskussion

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Da ja die hartnäckigsten Rummäkler (die zuvor von "Schmalspuralgebra" gesprochen hatten), einräumten, die Methode habe "charme" und sei für die Kollegstufe geeignet, steige ich jetzt in der oben erwähnten Pyramide in diese "Höhen" auf. Vorab darf ich anmerken, dass die neue "Aufgabenkultur" bei den Abituraufgaben meiner Wahrnehmung nach die Beherrschung der Termbewertung zu einem "essential", zu einer "conditio sine qua non" werden lässt, warum sollte man sie deshalb nicht schon (weit) früher (entweder "spielerisch": EINSETZEN, EINSETZEN; EINSETZEN oder auch ganz systematisch) einführen?

Benutzt man für alle relevanten Funktionen ( F(x), f(x); f `(x), f ``(x)) die Metapher der verschiedenen Stockwerke, in die man mittels Ableitung und Integral (Prinzip der umgekehrten Rechnungsarten!) "auf- und absteigen" kann, so kann man in jedem Stockwerk klare Verhältnisse schaffen und gravierenden Ungenauigkeiten, wenn nicht Fehlern der Formelsammlung entgehen, als Beispiel: Nach Formelsammlung liegt ein relatives Minimum einer Funktion an der Stelle x0 vor, wenn y`= 0  y `` (x0)>0. Denken sie an y = x4, wie müssten die Bedingungen genau formuliert werden ?: "Die erste nicht Null werdende Ableitung hat eine gerade Anzahl von Strichen [y`= 4x³, y``= 12x² , y```= 24x, yIV = 24, yIV(0)>0] und ist > 0".

Auch die Wendepunktsdefinition in der Formelsammlung beinhaltet vergleichbare "Mängel/ Fehler"1). Ich würde formulieren: Ein Wendepunkt des Graphen einer Funktion liegt vor, wenn die Funktion an der Stelle x0 definiert ist und in der Umgebung von x0 y``ein unterschiedliches Vorzeichen aufweist. Denken Sie hier auch an abschnittsweise definierte Funktionen (Standard: Krümmungswechsel an der "Nahtstelle").

Konsequenterweise stelle ich mein Konzept vor:

y:

Die Kurve "kreuzt" die x-Achse an der Nullstelle -1 von Minus nach Plus ("der Zug fährt von Süd nach Nord über die Donau"), bei x = 2 berührt der Graph die x-Achse von oben ("der Zug fährt auf die Brücke und kehrt um") z.B.:

Ich nenne solche Polynomfunktionen auch "luro" ("kommt von links unten, geht nach rechts oben"). Zur obigen Grafik mit den vorgeschlagenen Symbolen sage ich manchmal auch "symbolisches Zugfahren"

Darunter liegendes "Stockwerk": y` = (3x² - 6x) = x(x - 2)

y´:

Darunter liegendes Stockwerk: y``= 2x - 2 = 2(x-1)

         y´´ : 

WP bei x = 1 (y(1) = )

Damit ergeben sich folgende immer und ohne jegliche Formulierung von Ausnahmefällen(s.o., Bemerkungen zur Formelsammlung) gültige Festlegungen für die Nullstellen der 1. Ableitung:

y`: + 0 - rel. Max. z.B. - 0 + rel. Min. + 0 + "steigende Terrasse", - 0 - "fallende Terrasse".

Anderes gibt es in diesem "Stockwerk" nicht.

Aber auch Beispiele ohne eine Null auf der Zahlengeraden wie oder

 lassen sich mit Hilfe der Termbewertung an der Zahlengeraden "behandeln":

Mittels der Pfeile kann man markieren, wie sich der Term an den Rändern des Definitionsbereichs verhält (Grenzwerte o. Funktionswerte). Die untere Grafik liefert die Informationen a) Der Graph der Funktion steigt monoton. b) Die Steigung im Punkt 1/0 geht gegen +. c) Die Steigung geht für x   gegen 0.

Informationen: a) Die Funktion hat keine Nullstellen. b) Für x > 1 verläuft sie unterhalb der y-Achse, weil der Bruch dort

   kleiner  als 1 ist, für x < -1 oberhalb der x-Achse.

c) Die x-Achse und die Geraden x =  1 sind Asymptoten.

y´=  :

Informationen: a) Die Funktion ist im gesamten Definitionsbereich monoton

   steigend.

b) Die Steigung verhält sich, wie mit den Pfeilen beschrieben. c) y` ist ein gerader Term , daraus kann man erschließen,

   dass die Kurve selbst punktsymmetrisch zu 0 verläuft

(Symmetriewechsel bei "Stockwerkwechsel", in welchem

   Lehrbuch findet sich ein solcher Hinweis?). Der direkte Nachweis

ist ja gar nicht so einfach (für den Schüler).

Ein relatives Extremum liegt natürlich auch vor, wenn y(x) an einer Stelle x0 stetig ist und das Vorzeichen von y` an dieser Stelle wechselt,

z.B. y = x² + 2|x| +1 y`:

y´´:

y´´

    Wendepunkt an der Stelle x0

y´´

 y(x0) definiert, bzw. y(x) stetig

    an der Stelle x0

z.B. y =