Zahlengerade/ Termbewertung

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Anlass für die schon angesprochenen und folgenden Strategieüberlegungen sind Erfahrungen aus vielen Vertretungsstunden. Probieren Sie es doch einmal mit der Ungleichung x² < 4! Wie viele SchülerInnen werden spontan herausrufen: x < ± 2 ?! Wie bringe ich Ordnung in die Mathematikwahrnehmung der Schüler, in ihren Umgang mit Termen, Gleichungen, Ungleichungen usw.? M.E. ist dazu eine Formelsammlung nur sehr bedingt geeignet, eher eine Sammlung von Strategiepapieren, ich nenne sie oft: “(persönliche) erweiterte Formelsammlung”. Ein Beispiel aus der Kollegstufe: Tangentenprobleme: a) Tangente an eine Kurve in einem Punkt der Kurve, b) von einem Punkt außerhalb einer Kurve an diese. Solche strategischen Hinweise finden sich selten in Lehrbüchern, nicht einmal in (von mir so genannten) “Paukbüchern” (z.B.: Stark-Verlag). Ein solches Strategiepapier ich könnte auch von Arbeitsanweisung oder “Kochrezept” sprechen, lege ich im Folgenden vor. Es betrifft die Lösung von Gleichungen und Ungleichungen. In dieser Form habe ich es seit Jahrzehnten im Unterricht verwendet. Generationen von SchülerInnen haben diese Lösungsstrategie unter dem Stichwort “Zugfahren” kennen und schätzen gelernt. Ich habe den allergrößten Teil meiner Lehrtätigkeit im Bereich der Erwachsenenbildung absolviert. Da habe ich oft auch Ablehnung erfahren: “Das haben wir doch ganz anders gelernt” (sagen viele mit der Provenienz aus mehrfach abgebrochenen früheren Schullaufbahnen). Ablehnung auch von KollegInnen, die diese Lösungsansätze mit unterschiedlichsten, sich oft widersprechenden Argumenten verdammten, aber auch große Zustimmung von vielen Fachleuten. Ich hätte gern den Namen “Methode der besonderen Punkte” übernommen, den eines Tages mein Sohn aus einer Mathematikübung für VWL-Studenten an der LMU mit nach Hause brachte. (ich hatte mit dem Kollegen, der dieses Arbeitsblatt an die Studenten ausgab, niemals Kontakt!) Für den “Außengebrauch” habe ich mich dann für den Terminus “Termbewertung” entschieden, “Bewertung” eben nach + (>0), - (<0), 0 (= 0), nd (nicht definiert), Vorzeichenwechsel oder nicht.

Bewertung von Termen der Form: oder P(x)[Produkt]

1. Faktorisierung

d.h. Aufspaltung in

 a) Linearfaktoren und 
 b) in nicht mehr zerlegbare quadratische Faktoren (möglich nach dem Fundamentalsatz der Algebra).

2. Markierung der Nullstellen aller vorkommenden Linearfaktoren auf einer Zahlengeraden (Zähler und Nenner). 3. Markierung dieser Stellen als 0-Stellen (Symbol"0") oder als nicht definierte Stellen (Symbol "nd"), d.h. diese Nullstellen kommen im Nenner des Bruches vor und somit ist der Bruchterm an dieser Stelle nicht definiert. 4. Markierung dieser Stellen danach, ob Vorzeichenwechsel des Gesamtterms vorliegt oder nicht (Symbol "|" oder "x")

 a) Kriterium: zugehörige Potenz ungerade: Vorzeichenwechsel ("|")
 Kriterium: zugehörige Potenz gerade: unverändertes Vorzeichen ("x")
 b) kommen zugehörige Linearfaktoren im Zähler und im Nenner vor, so ist die Potenz durch "Bilanzieren" zu ermitteln, d.h. die zugehörigen Potenzen sind voneinander abzuziehen.

5. Bestimmung des Vorzeichens für den gesamten Term: sehr großen Wert für x einsetzen, z.B. 1000, Ergebnis auf der rechten Seite der Zahlengeraden festhalten (ob positiv oder negativ), dann auf dem Zahlenstrahl nach links wandern bis zur nächsten Markierung. Stelle dort fest, ob das Vorzeichen wechselt oder nicht und schreibe es zwischen den Markierungen auf.

Beispiel:  !!! Bild einfügen !!!

Ist eine Ungleichung oder Gleichung zu lösen, (=/>/>/</<), so lese man das Ergebnis aus der bearbeiteten Zahlengeraden ab und schreibe es in eine Mengenklammer (gleichzeitige Lösung für alle 5 obigen Aufgaben).