Zahlengerade/ Termbewertung mit Parametern

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Wie schon ausgeführt, man kann mit der vorgestellten Strategie die Lösung fast (dass sie bei Wurzelgleichungen nicht angebracht ist, ist klar) aller Gleichungen und Ungleichungen starten, in dem man den "Befehl" "rechts die Null gibt" (z.B. Term ³ 0, s.o.); natürlich wird niemand die Lösung der Ungleichung $2x \le 3$ beginnen, bei ax £ 3 könnte dieser Start schon wieder eine Alternative sein:

ax-3:

1. Fall a>0

2. Fall a<0

3. Fall a=0

L= ] -¥; ] für a>0

L= [ ; +¥[ für a<0

L= R für a=0

Manche Kritiker führen an, man könne doch bei Termen mit Parametern keine Termbewertung durchführen, da man etwa x=2a+1 nicht auf der Zahlengeraden markieren könne. Sie sollten es einfach probieren z.B. Endstufe TUF (x-a)(x-2a-1):

für a>-1

a 2a+1

                                                                     für   -¥<a<-1

a 2a+1

                                                                     Wie viele Zahlengeraden brauche ich?

Manche behaupten auch, man könne mit trigonometrischen/goniometrischen Termen nicht "Zug fahren". Aber an der Strategie ändert sich nichts, außer, dass das Einsetzen von x=1000 ungeeignet ist, Beispiel:

Endstufe TUF (nach Umformung einer goniometrischen Gleichung oder Ungleichung

cosx(sin2x + )

          cosx=0	® x= (2k+1)             k Î Z

sin2x = - ; 2x = / +2kp k Î Z

                                x =      /       + kp

usw.

Setzen sie nun x=0 ein, so ist T(0) > 0, da sich an jeder Nullstelle ein Vorzeichenwechsel ergibt, ist die Termbewertung damit fertig.

Es gibt Aufgaben zu quadratischen Gleichungen mit Parametern, etwa in den herkömmlichen 9.Klasse-Lehrbüchern, in denen eine Determination der Lösungsmenge in Abhängigkeit vom Parameter abgefragt wird. Dazu ist oft die Termbewertung für die Diskriminante erforderlich, z.B.:x1,2=

-1 2

D= (a+1)(a-2) :

Gleichungen der Form können z.B. zu

führen, d.h. Termbewertung für den Radikanden erforderlich.

Zwei Beispiele aus der Kollegstufe, die aber an diese Stelle “gehören”.

Die Bestimmung des Definitionsbereichs der Funktion erfordert Termbewertung für das Argument/ den Numerus, dasselbe gilt für

die Wurzelfunktion bzgl. des Radikanden.

Falls man Betragsterme für "stoffrelevant" hält, bieten sie für die vorgestellte Strategie sehr gute und umfassende Anwendungsbereiche.

Beginnen wir mit |a|. Dies ist die Maßzahl der Entfernung einer Zahl vom 0-Punkt der Zahlengeraden, infolgedessen |x + 2| = |x - (-2)|

              çx + 2ç             >	        5

Die Lösungsmenge ist die Menge aller Zahlen, die genau, mehr als, mindestens, weniger, höchstens [ich wähle bewußt die in der Stochastik verwendeten Termini, s.u., vgl. auch die o. synchron abgehandelten 5 Aufgabentypen], 5 [LE] vom Punkt -2 der Zahlengeraden entfernt sind.

Bsp.: |3 - 2x| < 5; |2x - 3| < 5; |x - 1,5| < 2,5, weiter s.o.

Offensichtlich kommt es wieder auf die Nullstelle des (Betrags)terms an, vgl. o. : Nullstelle der einzelnen Klammer.

Auch bei schwierigeren Betragsaufgaben lässt sich die Methode der besonderen Punkte anwenden:

Bsp.: |x + 2| - |3 - 2x| + 3 > 0

Endstufe TUF (d.h. nach Termumformung(en) ergibt sich
|x + 2| - |3 - 2x| + 3 > 0
(vgl. oben: Mathematik als Kommunikationsstruktur: "rechts die Null")

Die Zahlengerade wird durch x= und x=8 in drei Bereiche aufgeteilt; und 8 sind die leicht zu ermittelnden Nullstellen1) des Terms III II I

8

In jedem der drei Bereiche ergibt sich jeweils das gleiche Vorzeichen z.B.: T (10) = 12 - 17 + 3 < 0

			T  (0)  =    2 - 3  + 3 > 0
 			T(-10) =   8 - 23 + 3	< 0

L = ] ;8[

Bsp.:

-1 < < 1

                   <0  Ù             >0

                    <0  Ù

              <0  Ù                                                     ® Endstufe TUF

n.d.

Ù

-3

usw.

Man sollte immer wieder erkennen, dass FU (Fallunterscheidungen), soweit es möglich ist, umgangen werden. Wer den Eigenwert der FU hoch einschätzt,

Setze für die Beträge + (x +2) bzw. +(3 - 2x) und mache die Probe: sie fällt für x = -2 und x = 8 positiv aus, für x = 2 und x = 4 negativ.

wird auch bei der vorgestellten Methode immer noch "Positionen" wahrnehmen, bei denen FU nicht zu umgehen ist, s.o.

1) Setze für die Beträge ±(x+2) bzw. ±(3-2x) und mache die Probe:

  Sie fällt für    und x = 8 positiv aus, für x = 2 und   negativ.

Für den funktionalen Bereich des Lehrplanes:

y = |(2x - 1)(x + 3)|

ergibt sich mit Hilfe der Methode der besonderen Punkte ein sog. Veränderungskatalog für Funktionen, den ich später umfassend vorstellen werde, an diesem Beispiel:

Spiegele die Parabel y = 2x² + 5x - 3 zwischen ihren Nullstellen x = und x = -3 an der y-Achse "nach oben", eine Betragsauflösung entfällt natürlich.

Sollte man eine Aufgabe:

Zeichne die Funktion y = 3 - |2 - |x - 5|| für sinnvoll halten; auch hier ist eine Auflösung der Betragsstriche nicht nötig:

"höchste" Punkte für y = 3 -> 2 - |x - 5| = 0 -> |x - 5| = 2, s.o.

In der Mitte zwischen den höchsten Punkten liegt der relativ tiefste Punkt des umgekehrten /\/\ W`s

Auch die Beschriftung der 4 Teilgraphen ist dann ohne die (ich sage mal für den Schüler lästige) Betragsauflösung mit FU leicht möglich.

Im Bereich der linearen Funktionen ist natürlich das \/ noch einfacher zu erstellen , z.B. y = -2 + |2x - 3| -> tiefster Punkt für y = -2 Ù 2x - 3 = 0, also x = 1,5

Da ja die hartnäckigsten Rummäkler (die zuvor von "Schmalspuralgebra" gesprochen hatten), einräumten, die Methode habe "charme" und sei für die Kollegstufe geeignet, steige ich jetzt in der oben erwähnten Pyramide in diese "Höhen" auf. Vorab darf ich anmerken, dass die neue "Aufgabenkultur" bei den Abituraufgaben meiner Wahrnehmung nach die Beherrschung der Termbewertung zu einem "essential", zu einer "conditio sine qua non" werden lässt, warum sollte man sie deshalb nicht schon (weit) früher (entweder "spielerisch": EINSETZEN, EINSETZEN; EINSETZEN oder auch ganz systematisch) einführen?

Benutzt man für alle relevanten Funktionen ( F(x), f(x); f `(x), f ``(x)) die Metapher der verschiedenen Stockwerke, in die man mittels Ableitung und Integral (Prinzip der umgekehrten Rechnungsarten!) "auf- und absteigen" kann, so kann man in jedem Stockwerk klare Verhältnisse schaffen und gravierenden Ungenauigkeiten, wenn nicht Fehlern der Formelsammlung entgehen, als Beispiel: Nach Formelsammlung liegt ein relatives Minimum einer Funktion an der Stelle x0 vor, wenn y`= 0 Ù y `` (x0)>0. Denken sie an y = x4, wie müssten die Bedingungen genau formuliert werden ?: "Die erste nicht Null werdende Ableitung hat eine gerade Anzahl von Strichen [y`= 4x³, y``= 12x² , y```= 24x, yIV = 24, yIV(0)>0] und ist > 0".

Auch die Wendepunktsdefinition in der Formelsammlung beinhaltet vergleichbare "Mängel/ Fehler"1). Ich würde formulieren: Ein Wendepunkt des Graphen einer Funktion liegt vor, wenn die Funktion an der Stelle x0 definiert ist und in der Umgebung von x0 y``ein unterschiedliches Vorzeichen aufweist. Denken Sie hier auch an abschnittsweise definierte Funktionen (Standard: Krümmungswechsel an der "Nahtstelle").

1) Sollten diese Dinge in neueren Auflagen korrigiert sein, nehme ich den Hinweis auf die FS natürlich zurück.

Konsequenterweise stelle ich mein Konzept vor:

y: 2 -1

Die Kurve "kreuzt" die x-Achse an der Nullstelle -1 von Minus nach Plus ("der Zug fährt von Süd nach Nord über die Donau"), bei x = 2 berührt der Graph die x-Achse von oben ("der Zug fährt auf die Brücke und kehrt um") z.B.: $y=\frac{1}{3}(x+1)(x-2)^2$

Ich nenne solche Polynomfunktionen auch "luro" ("kommt von links unten, geht nach rechts oben"). Zur obigen Grafik mit den vorgeschlagenen Symbolen sage ich manchmal auch "symbolisches Zugfahren"

Darunter liegendes "Stockwerk": y` = (3x² - 6x) = x(x - 2)

0 2 Kurve steigt Kurve steigt Kurve fällt Max. bei x=0 Min. bei x=2

y´:

Darunter liegendes Stockwerk: y``= 2x - 2 = 2(x-1)

Kurve ist konkav gekrümmt

         y´´ :

Kurve ist Konvex gekrümmt

1

WP bei x = 1 (y(1) = )

Damit ergeben sich folgende immer und ohne jegliche Formulierung von Ausnahmefällen(s.o., Bemerkungen zur Formelsammlung) gültige Festlegungen für die Nullstellen der 1. Ableitung: 2

y`: + 0 - rel. Max. z.B. - 0 + rel. Min. + 0 + "steigende Terrasse", - 0 - "fallende Terrasse".

Anderes gibt es in diesem "Stockwerk" nicht.

Aber auch Beispiele ohne eine Null auf der Zahlengeraden wie oder

 lassen sich mit Hilfe der Termbewertung an der Zahlengeraden "behandeln":

+¥ 0¬ n.d. 1

n.d. 1 +¥ ®0

Mittels der Pfeile kann man markieren, wie sich der Term an den Rändern des Definitionsbereichs verhält (Grenzwerte o. Funktionswerte). Die untere Grafik liefert die Informationen a) Der Graph der Funktion steigt monoton. b) Die Steigung im Punkt 1/0 geht gegen +¥. c) Die Steigung geht für x ® ¥ gegen 0.

+¥

0¬ n.d.

®0 -1 1

¯-¥

Informationen: a) Die Funktion hat keine Nullstellen. b) Für x > 1 verläuft sie unterhalb der y-Achse, weil der Bruch dort

   kleiner  als 1 ist, für x < -1 oberhalb der x-Achse.

c) Die x-Achse und die Geraden x = ± 1 sind Asymptoten.

+¥

n.d. 0¬

®0 -1 1 y´= : +¥

Informationen:

a) Die Funktion ist im gesamten Definitionsbereich monoton steigend.

b) Die Steigung verhält sich, wie mit den Pfeilen beschrieben.

c) y` ist ein gerader Term , daraus kann man erschließen, dass die Kurve selbst punktsymmetrisch zu 0 verläuft (Symmetriewechsel bei "Stockwerkwechsel", in welchem Lehrbuch findet sich ein solcher Hinweis?). Der direkte Nachweis ist ja gar nicht so einfach (für den Schüler).