Zahlengerade/ Veränderungskatalog

Aus Wikibooks

1. y = f(x)  y = f(x) + a siehe Abitur gk Bayern 2005

Bsp.: y = x2  y = x2 + 2 wobei f(x) = x2 und a = 2 Ergebnis: Vertikale Verschiebung um a parallel zur y-Achse Skizze z. Bsp.:

2. y = f(x)  y = f(x  a)

Bsp.: y = y = Ergebnis: Horizontale Verschiebung (parallel zur x-Achse) nach: - rechts bei -a und - links bei +a im Bsp.: a = 1  Verschiebung um 1 nach links.

Skizze z. Bsp.:

weitere Anwendung: Die Funktion y = x3 – 2x2 +5x +7 soll um 2 Einheiten nach rechts verschoben werden, d.h. a = -2. Einsetzen: y = (x-2)3 – 2(x-2)2 + 5(x-2) + 7 (der Linearfaktor 7 bleibt unverändert)

3. y = f(x)  y =

WICHTIG : VK 3 gilt nur, wenn sich alle vorkommenden xé in Betrag setzen lassen.

Bsp.: y = x2 – = – , hingegen bei: y = x3 – gilt VK 3 nicht, da  x3, weil x3 sowohl negativ als auch positiv sein kann!!!

Zeichenschritte: a) Zeichnung des Graphen f(x): f(x), alle werden durch x ersetzt, hier: y = x2 – x b) Kurventeile, die links der y-Achse stehen, vollständig löschen! c) Nun Kurventeile, die rechts der y-Achse stehen, nach links spiegeln.

Zeichenhilfe z. Bsp: y = x2 – x = x(x-1)  Nullstellen x1 = 0 und x2 = 1; dann Scheitelbestimmung

Skizze z. Bsp.:

4. y = f(x)  y =

Bsp : y =

Zeichenschritte : a) Zeichnung des Graphen zu f(x) ohne Betragsstriche, hier : y = b) Kurventeile oberhalb der x-Achse bleiben stehen, Kurventeile unterhalb der x-Achse

   nach oben spiegeln.

c) Alles, was unterhalb der x-Achse steht, löschen.

Skizze z. B.:

5. y = f(x)  = f(x) (keine Funktion!)

Bsp.:

Zeichenschritte: a) Zeichnung des Graphen der Funktion ohne Betragsstriche, hier: y= b) Kurventeile unterhalb der x-Achse löschen. c) Kurventeile oberhalb der x-Achse an der x-Achse spiegeln.

Skizze z. Bsp.:

6. y= f(x)  y = -f(x)

Bsp. : vorher : y = x2 – x nachher : y = -x2 + x

Zeichenschritte : a) Zeichnung zu y = f(x) b) Spiegelung an der x-Achse, c) dann Graphen y = f(x) löschen.

Skizze z. Bsp.:

7. y = f(x)  y = f(-x)

Bsp. : vorher : y = x2 – x nachher : y = (-x)2 – (-x) = x2 + x

Zeichenschritte : a) Zeichnung für y = f(x), hier: y = x2 – x b) Spiegelung an der y-Achse (Zeichenhilfe: zuerst Scheitel spiegeln): dann f(x) (alt) löschen.

Skizze z. Bsp.:

8. Spiegeln eines Graphen am Ursprung

Bsp.:

Ersetze x durch –x und y durch –y: im Bsp.

Skizze z. Bsp.:

9. Zentrische Streckung eines Graphen, siehe gk-Abitur Bayern 2005, Afg. I

y = f(x)  y = kf( ) Zentrum 0, Faktor k

Kombinationsmöglichkeiten

aus 1. und 2. :

“Hyperbel mit achsenparallelen Asymptoten” Funktionstyp:

Bsp.: y = =

Eigenschaften (allgemein):

• punktsymmetrisch zum Schnittpunkt der Asymptoten.
• senkrechte Asymptote: .
• waagerechte Asymptote: .
• Schnittpunkt mit der x-Achse : .
• Schnittpunkt mit der y-Achse: .
• keine Extrema und auch keine Wendepunkte vorhanden.

im Bsp.: a = - 3, b = - 5, c = 1, d = 2.  anhand von allgemeingültigen Eigenschaften ist nun die Zeichnung möglich.

Grobskizze z. B.:

aus 3., 4. und 5.

Bsp.:

Arbeitsschritte: siehe Regeln unter 3., 4. und 5., mit einfachster Form beginnen, d.h. ohne Betragsstriche.