Zahlengerade/ VielfachheitNullstellen

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An dieser Stelle und an vorhergehenden und folgenden Positionen sollte man immer wieder auf den Satz hinweisen und ihn einüben: Bei jedem Differentiationsvorgang nimmt die Vielfachheit einer Nullstelle um genau eins ab.

Dieser Satz findet sich meines Wissens in keinem Lehrbuch für Schüler. Ja es gibt Lehrbücher, in denen bei vorgeführten Musterbeispielen immer wieder neu nach Nullstellen "gestochert", also unsinnige Rechenarbeit beim Ausprobieren und bei der anschließenden Polynomdivision vorgeführt wird. Konkret: Wenn ich bei y = f(x) eine dreifache Nullstelle für x = 2 "diagnostiziert" habe,

             kann ich ein "Stockwerk" tiefer, also bei y = f `(x) sofort mit der Division durch 
             (x - 2)2 beginnen. 

Dazu und um für ein unschematisches, flexibles, situationsadäquates (d.h. am Funktionsterm orientiertes) Vorgehen bei der Kurvendiskussion zu plädieren, folgendes Beispiel:

y = x5 – 3x4 – x3 + 11x2 – 12x +4

Mit der Bestimmung der Nullstellen zu beginnen, wie dies viele Lehrbücher und andere gedruckte Schemata vorschlagen, halte ich hier für unsinnig. Sie müssten 3 Polynomdivisionen durchführen, um zum Grad 2 vorzudringen, vorhergehend immer die Suche nach einer ganzzahligen Lösung der jeweiligen Gleichung, analog gilt für die Gleichung y´ = 0  : 2 Polynomdivisionen. Ich schlage vor im “untersten Stockwerk” zu beginnen, bei y”.

y´ = 5x4 – 12x3 – 3x2 +22x –12 y´´ = 20x3 – 36x2 – 6x + 22 Man findet leicht y´´ (1) = 0 

(20x3 – 36x2 – 6x +22) : (x-1) = 20x2 – 16x – 22

20x3 –20x2
         -16x2 – 6x
         -16x2 + 16x
                     -22x + 22
                     -22x + 22

10x2 – 8x + 11 = 0  x2,3 = =

y´´:

Ich habe also die Abszissen der 3 Wendepunkte gefunden. Es liegt nun nahe, bei der Ermittlung der zugehörigen Ordinaten mit x1 anzufangen, man findet y(1) = 0. Vielleicht kommt man ja dann auf die Idee, y´(1) auszuprobieren – mit 1 sollte es sich doch leicht rechnen. Da auch y´(1) = 0 ist, folgt nach dem Satz über die Vielfachheit der Nullstellen in den 3 Stockwerken: Die Kurve hat eine dreifache Nullstelle (fallende Terrasse), also ist (x5-3x4-x3+11x2-12x+4)=(x3-3x2+3x-1)(x2+ax-4) von rechts nach links: x5-3x4+3x3-x2+ax4-3ax3+3ax3-ax …. Da keine 4.Potenz mehr folgen kann, muss a = 0 sein, Koeffizientenvergleich x4(-3+a) zu –3x4

Die Termbewertung zu y = (x-1)3(x+2)(x-2):

führt zur Erkenntnis, dass ein relatives Minimum zwischen x = 1 und x = 2 liegen muss. Die Gleichung 4.Grades für y´ lässt sich aber durch Polynomdivision mit dem Divisor (x2-2x+1)(Begründung s.o.) auf Grad 2 reduzieren: (5x4-12x3-3x2+22x-12):(x2-2x+1) = 5x2-2x-12 oder man verwendet das gleiche Verfahren wie auch bei y´´ anwendbar oben und kommt ganz ohne Polynomdivision aus: (x2-2x+1)(5x2+ax-12) = 5x4-10x3+5x2+ax3-2ax2+ax......; -10+a = -12 a = -2 5x2-2x-12 = 0; x4,5 =

=  1,76; -1,36

Termbewertung für y`

y´:

Zur Kontrolle: Stimmt die Reihenfolge der wichtigen x-Werte? -2(NSt); -1,36(xMax); -0,72(xWP); (0/4); 1(xTP); 1,52(xWP); 1,76(xMin); 2(NSt) - ja!

Die Berechnung der y-Werte sollte man dem Schüler ersparen. Er wird auch ohne sie zu einer guten Grobskizze kommen.

Man kann ihm ja anschließend den nachstehenden Graphen in geeigneter Weise “vorführen”.

Für die Bearbeitung von komplexeren Übungsaufgaben, z.B. im Abitur, ergibt sich aus dem Vorhergehenden die Strategie der Erstellung einer Grobskizze vorab, die als Kontrollinstrument die Bearbeitung der Aufgabe im Detail begleitet. Für die Erstellung der Grobskizze sollen in der Regel keine oder nur in sehr geringem Umfang Rechnungen durchgeführt werden, stattdessen gedacht und argumentiert werden. Der Zeitaufwand sollte auf die Größenordnung von 5 - 7 Minuten trainiert werden, oft geht es noch schneller. Der Schüler darf und soll dabei auch Informationen verwenden, die explizit oder implizit im Aufgabentext gegeben, manchmal auch “versteckt” sind. Ich demonstriere dies an der Abituraufgabe Grundkurs Mathematik, Infinitesimalrechnung