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Statistik: Test auf Varianz

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Herleitung der Prüfgröße

Betrachten wir eine normalverteilte Grundgesamtheit. Die Schätzung für die Varianz ist hier

.

Jedem Beobachtungswert liegt eine normalverteilte Zufallsvariable zu Grunde.

Wir wollen nun eine passende Prüfgröße für einen Varianztest herleiten. Wir gehen von vielen stochastisch unabhängigen, normalverteilten Zufallsvariablen aus, alle mit gleichem Erwartungswert und gleicher Varianz .

Durch Standardisieren der erhalten wir die standardnormalverteilten Zufallsvariablen

die ebenfalls stochastisch unabhängig sind. Die Summe der Quadrate

ist -verteilt mit Freiheitsgraden.

Da wir im Allgemeinen nicht kennen, schätzen wir diesen Parameter mit

.

Durch diesen Ersatz geht unserer Quadratsumme ein Freiheitsgrad verloren. Die resultierende Quadratsumme

mit den Summanden statt ist -verteilt mit Freiheitsgraden.

Wir werden jetzt diese Summe mit verquicken, um eine Prüfgröße für den Test zu erhalten. Mathematisch ist

.

Deshalb ist ebenfalls -verteilt mit Freiheitsgraden.

Unter der Nullhypothese ist dann

analog zu oben verteilt mit dem Parameter .

Wir wollen nun für den Nichtablehnungsbereich für den Test angeben. Die Hypothese wird nicht abgelehnt, wenn die Prüfgröße in das Intervall

fällt, wobei ) das -Quantil der -Verteilung mit Freiheitsgraden ist.

Die Nichtablehnungsbereiche für die Bereichshypothesen werden analog zu der Vorgehensweise bei Erwartungswerten festgelegt:

Bei der Mindesthypothese wird die Hypothese abgelehnt, wenn die Prüfgröße

ist.

Bei der Höchsthypothese wird die Hypothese abgelehnt, wenn die Prüfgröße

ist.

Beispiel für eine Punkthypothese

Ein großer Blumenzwiebelzüchter hat eine neue Sorte von Lilien gezüchtet. Die Zwiebeln sollen im Verkauf in verschiedenen Größenklassen angeboten werden. Um das Angebot planen zu können, benötigt der Züchter eine Information über die Varianz der Zwiebelgröße. Es wurden 25 Zwiebeln zufällig ausgewählt und gemessen. Man erhielt die Durchmesser (cm)

8 10 9 7 6 10 8 8 8 6 7 9 7 10 9 6 7 7 8 8 8 10 10 7 7

Es soll die Hypothese überprüft werden, dass die Varianz der Zwiebelgröße 3 cm2 beträgt (α = 0,05).

Die Nullhypothese lautet

Nichtablehnungsbereich für die Prüfgröße y ist

.

Es ergab sich für die Stichprobe und . Die Prüfgröße errechnet sich als

.

Die Hypothese kann nicht abgelehnt werden.

Beispiel für eine Bereichshypothese

An einer Abfüllanlage werden Tagesdosen für ein sehr teures flüssiges Medikament in Plastikschälchen eingebracht. Da das Medikament hochwirksam ist, soll die Abweichung der Füllmenge vom Mittelwert möglichst wenig schwanken. Man weiß, dass die Füllmenge normalverteilt ist. Zur Kontrolle soll die Hypothese getestet werden, dass die Varianz höchstens 0,01 ml2 beträgt (). Eine Stichprobe von 20 Schälchen ergab den Mittelwert 0,5 und die Varianz 0,014.

Zu testen ist .

Die Prüfgröße für H0 ist .

Die Hypothese wird abgelehnt, wenn ist.

Die Stichprobe ergab

Die Hypothese wird nicht abgelehnt. Man geht davon aus, dass die Varianz der Füllmenge sich nicht verändert hat.

Bemerkung: Hier wurde das angestrebte Ergebnis als Nullhypothese formuliert. Würde man stattdessen die Arbeitshypothese testen, würde die Hypothese erst für eine Stichprobenvarianz kleiner als ca. 0,006 ml2, abgelehnt werden, was eine strenge Vorgabe ist und so den Produktionsprozess sehr behindern würde.