Exponentialfunktionen[Bearbeiten]
Es sei
, sowie
. Dann ist
a nennt man Basis und n den Exponenten der Potenz
(Exponentialfunktion zur Basis a). Es gilt auch, daß
für jedes
und
definiert ist.
Eine Exponentialfunktion ist stetig und für
monoton steigend, für
monoton fallend.
![{\displaystyle a^{0}\ =1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79e0fff57fa16a0d38313dc251213abc042a6ec7)
![{\displaystyle a^{1}\ =a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0da268e095f6589db0c525ad90c16a86e94741e8)
![{\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c633cad77083697a0ab944d0018590fee0622f60)
![{\displaystyle r={\frac {p}{q}}:\;a^{r}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8140d36f81620b0281be3962028d3f6af972574f)
![{\displaystyle a^{n+m}=a^{n}\cdot a^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/528a62e0ae1d6f82838ea7a98f1b5002f0e4999c)
![{\displaystyle a^{n-m}={\frac {a^{n}}{a^{m}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d856cc028f117d3775919a9cc74b83ba4bd47124)
![{\displaystyle a^{n\cdot m}=(a^{n})^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93062bc98e0b2febff47aae870e08f3a628a3772)
![{\displaystyle a^{n}\cdot b^{n}=(a\cdot b)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c2f28874ba887580500487f9db0fdce20cfc5bb)
Natürliche Exponentialfunktion[Bearbeiten]
Die Exponentialfunktion zur Basis e (e = 2,718..., Eulersche Zahl) kann für alle
folgendermaßen definiert werden
![{\displaystyle e^{z}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {z^{i}}{i!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a147bfb8a3597028db8b6f2f7e0889da860d8cd2)
oder
![{\displaystyle e^{z}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7c0e354b2faeeb1148acc0bf807beb6de100b1e)
Den Logarithmus zur Basis a schreibt man
. Manchmal ist das auch in dieser Schreibweise
zu sehen.
Logarithmen sind Umkehrfunktionen zu den Exponentialfunktionen.
![{\displaystyle a^{\log _{a}x}=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c71f6bee315a55a0de8e3faddffc446ddd3e817c)
![{\displaystyle \log _{a}\left(a^{x}\right)=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05ffae5ae3a30af18e6c5c8a1afffb559e808665)
![{\displaystyle \log _{a}\left(1\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7bf174ce18ea1859bafae6b956f6e660e9a477c)
![{\displaystyle \log _{a}\left(a\right)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe0b801af89762541f19ce160aa5f20c702b5add)
![{\displaystyle \log _{a}\left(xy\right)=\log _{a}x+\log _{a}y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/182bdb8c204fb82c0224e359a62c6ba93e8a312d)
![{\displaystyle \log _{a}\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{a}x-\log _{a}y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8e351d9f99a6d64124e4b4da1e7711acdb1ca5d)
![{\displaystyle \log _{a}\left({\frac {1}{x}}\right)=-\log _{a}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaf24b31294b744080fd4d6a1004fbf9247be096)
![{\displaystyle \log _{a}\left(x^{y}\right)=y\log _{a}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0ad2bc2681cbbe0a77ddc688dd4e055bcd0dcc)
![{\displaystyle {\frac {\log _{a}x}{\log _{a}y}}={\frac {\log _{b}x}{\log _{b}y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce22832ceb05325447d353aea04f75c939cf54e3)
Zweierlogarithmus, Duallogarithmus oder binärer Logarithmus
oder
Zehnerlogarithmus, dekadischer Logarithmus oder Briggscher Logarithmus
natürlicher Logarithmus, Logarithmus naturalis
oder
Umrechnung zwischen verschiedenen Basen[Bearbeiten]
eingesetzt
daraus folgt, dass
sein muss.
Alternativ kann man diese Beziehung auch aus der Rechenregel
ableiten.
Trigonometrische Funktionen (Winkel-, Kreisfunktionen)[Bearbeiten]
Das Bogenmaß ist definiert als dimensionslose Größe
Bekannt ist der Umfang eines Kreises
.
Somit gilt für den Vollkreis
Genauso wird das Bogenmaß definiert. 360° entsprechen
im Bogenmaß. Das Bogenmaß ist eigentlich dimensionslos, wird aber oft mit der Einheit Radiant [rad] versehen.
Winkel in [°]
|
Bogenmaß in [1] oder in [rad]
|
1 |
|
45 |
|
~57,3 |
1
|
90 |
|
180 |
|
360 |
|
Umrechnung von Graden in das Bogenmaß:
mit
in [rad] und
in [°].
Sind Kreisbogenlänge und Radius gleich lang, dann wird
. Am Einheitskreis entspricht das Bogenmaß der Kreisbogenlänge.
Die trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis [Bearbeiten]
sin x ist eine schiefsymmetrische Funktion, während cos x eine symmetrische Funktion repräsentiert, d.h.
![{\displaystyle \sin(-x)\ =\ -\sin x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38e9fcefba01add503f8e5cf42d650ac34ea426c)
![{\displaystyle \cos(-x)\ =\ \cos x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8166367a29f16539f351b1cd2d038005cd46e988)
Sinus und Kosinus sind periodische Funktionen, es gilt:
![{\displaystyle \sin(x+2k\pi )\ =\ \sin x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/488e5ca7b768f3b775c91032f7fd7e09807cc0e8)
![{\displaystyle \cos(x+2k\pi )\ =\ \cos x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/558ca684b5c7670b46525c31e1526f7775d3f530)
Des Weiteren gilt:
![{\displaystyle \cos(x)\ =\ \sin(x-{\frac {\pi }{2}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b398409c38c0ca7783e7663c0e15fe9696b4bea)
Definition:
![{\displaystyle \sin x=\Im \left(e^{ix}\right)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9c6c317f6d45547a59a06d21849745954d55fcf)
![{\displaystyle \cos x=\Re \left(e^{ix}\right)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b82a312ad458beea4497fc04f077163bf807162d)
Daraus folgt unmittelbar die Eulerformel:
Direkt aus den Verhältnissen am Einheitskreis läßt sich mittels des Satzes von Pythagoras die Beziehung
ableiten.
Alternativ muss sich natürlich auch aus der obigen Definition selbiges Ergebnis ableiten lassen:
Am Einheitskreis läßt sich auch leicht erkennen, dass
![{\displaystyle |\sin x|\ \leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c489c7d2d4dbb9450009ce2706be14c9ce08035a)
![{\displaystyle |\cos x|\ \leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5fee9ee70b7d1ebc1b2cef03a08b74526de5e47)
sein muss.
![{\displaystyle \sin \left(x\pm y\right)=\sin x\cos y\pm \cos x\sin y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e4790c1849b005e19a3085f79dbee2c00ba2d9c)
![{\displaystyle \cos \left(x\pm y\right)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71244797ee87c4482284626cc73da81064b67288)
![{\displaystyle \sin x+\sin y=2\sin {\frac {x+y}{2}}\cos {\frac {x-y}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e01cf1e797f9464e17c37cfcc5dde3c5f13912e5)
![{\displaystyle \cos x+\cos y=2\cos {\frac {x+y}{2}}\cos {\frac {x-y}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2791d88f49dafee372535fdaed0480528162041d)
![{\displaystyle \sin x-\sin y=2\cos {\frac {x+y}{2}}\sin {\frac {x-y}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0adc6913782f902aa3caad9ff414c66add66aa94)
![{\displaystyle \cos x-\cos y=-2\sin {\frac {x+y}{2}}\sin {\frac {x-y}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c581a11aaaa29367b9f2dc636effd710aecb2e07)
Tangens und Cotangens[Bearbeiten]
Umkehrfunktionen zu den trigonometrischen Funktionen[Bearbeiten]
Rationale Funktionen[Bearbeiten]
Parameterdarstellung[Bearbeiten]