Untersuchung der Sphäre, der offenen und der abgeschlossenen Kugel auf Offenheit bzw. Abgeschlossenheit
Sei ein metrischer Raum und sei sowie beliebig. Beweise, dass die folgende Menge offen ist:
Beweise außerdem, dass folgende Mengen und abgeschlossen sind:
Beweis
Sei beliebig und sei . ist eine stetige Funktion (weil die Metrik bzgl. jeder Komponente stetig ist).
Teilaufgabe 1: ist offen
Es ist
Nun ist in der Grundmenge eine offene Menge. Somit ist als Urbild der offenen Menge unter der stetigen Funktion wieder eine offene Menge (Urbilder offener Mengen unter stetigen Funktionen sind wieder offen).
Teilaufgabe 2: ist abgeschlossen
Es ist
Somit ist als Urbild der abgeschlossenen Menge unter der stetigen Funktion wieder eine abgeschlossene Menge (Urbilder abgeschlossener Mengen unter stetigen Funktionen sind wieder abgeschlossen).
Teilaufgabe 3: ist abgeschlossen
Es ist
Somit ist als Urbild der abgeschlossenen Menge unter der stetigen Funktion wieder eine abgeschlossene Menge.