Aufgabensammlung Physik: Teilchen auf einem Ring

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Teilchen auf einem Ring

Ein Teilchen bewege sich kräftefrei auf einem Ring der Länge L, wobei die Krümmung der Bahn vernachlässigt werden soll.

  1. Was ändert sich im Vergleich zum dem Modell des unendlich hohen Potentialtopfes?
  2. Bestimme die Eigenenergien und Eigenfunktionen


Lösung der Aufgabe 1

Das Modell besitzt die Hamiltonfunktion auf dem Intervall . Da die Wellenfunktion glatt ist bei , folgen die beiden Randbedingungen:

und

Lösung der Aufgabe 2

Die Schrödinger-Gleichung lautet in diesem Fall:

Wir wählen folgenden Ansatz mit :

Damit folgt für die Randbedingungen:

Dies reduziert sich auf die beiden Bedingungen

und

Wir schließen den trivialen Fall aus. Da im Allgemeinen folgt und damit:

mit

Die Eigenenergien lauten somit

und für jeden Wert der Quantenzahl existieren zwei linear unabhängige Lösungen proportional zu

und