Benutzer:Augiasstallputzer~dewikibooks/Printtafel1

Aus Wikibooks
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Integrale rationaler Funktionen[Bearbeiten]

Das Integral einer rationalen Funktion lässt sich immer in geschlossener Form angeben, wenn dies für die Nullstellen der Nennerfunktion der Fall ist. Das Standardverfahren hierfür ist die Partialbruchzerlegung, durch die sich das Problem auf die Integration einiger weniger Grundtypen rationaler Funktionen zurückführen lässt.


Integrale, die ax + b enthalten[Bearbeiten]




































  1. Für ist die Summe leer und es es entsteht die vorhergehende Formel.







  2. Für n = 1 (mit leerer Summe) und für n = 3 sind dies andere Stammfunktionen (beziehungsweise eine andere Konstante) als oben angegeben, für n = 2 ist es eine andere Darstellung der selben Stammfunktion.







  3. Für n = 1 (wo die Summe leer ist), n = 2 und n = 3 sind dies die oben angegebenen Funktionen.

  4. Diese Verallgemeinerung umfasst die meisten der oben angegebenen Formeln.

Integrale, die zwei Linearfaktoren enthalten[Bearbeiten]



















Integrale, die x2 ± a2 enthalten[Bearbeiten]













  1. Rekursionsformeln:
























  2. Rekursionsformel:


































Integrale, die x2 ± a2 und einen Linearfaktor enthalten[Bearbeiten]





Integrale, die ax2 + bx + c enthalten[Bearbeiten]

  1. Grundlage bildet das Integral


  2. Im Falle kann man auch dafür auch schreiben:


    Dieses Integral wird im Rest dieses Abschnitts immer wieder verwendet, entweder direkt oder als Verankerung für eine Rekursion.




  3. Rekursionsformel:

    Für n = 2 und n = 3 sind das die oben angegebenen Stammfunktionen.


  4. In geschlossener Form ist

    (oder Schreibweise mit artanh und arcoth analog zu oben)


  5. Rekursionsformel:

    Für n = 2 ist das die vorige Stammfunktion.




  6. Die folgende Formel gilt für alle ganzen Zahlen n. Für n = 1 und n = 2 handelt es sich um die eben genannten Stammfunktionen:


  7. Die folgende sehr allgemeine Formel gilt für alle ganzen Zahlen und für alle , also für nahezu alle Funktionen in diesem Abschnitt und zudem für eine Reihe von irrationalen Funktionen. Als Rekursionsformel brauchbar ist sie natürlich nur für . Für negative gibt es eine andere Rekursionsformel, siehe unten.
  8. Für m = 2n–1 gilt statt dessen:


  9. Rekursionsformel:




  10. Und schließlich wieder als Rekursionsformel:


Integrale, die ax2 + bx + c und einen Linearfaktor enthalten[Bearbeiten]



Integrale, die drei oder mehr Linearfaktoren enthalten[Bearbeiten]

  1. Die Werte a, b, c,… müssen alle voneinander verschieden sein.




  2. …und so weiter. Allgemein geschrieben sieht das so aus:


Integrale, die x3 ± a3 enthalten[Bearbeiten]


  1. Dieses Integral – und das übernächste – werden im Rest des Abschnitts mehrfach zur Abkürzung verwendet.


























Integrale, die x4 ± a4 enthalten[Bearbeiten]

















Integrale, die zwei quadratische Faktoren enthalten[Bearbeiten]


  1. Für die Integrale auf der rechten Seite siehe 5. Abschnitt