Benutzer:Dirk Hünniger/for 7 1

Zitat (Forster Analysis 1 6. Auflage Seite 70 Aufgabe 7.1):

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n!}{n^{n}}}$

Zitat Ende. Zu zeigen ist die Konvergenz. Verwende hierzu Quotientenkriterium. Zu zeigen:

$\exists \Theta \in \mathbb {R} :0<\Theta <1{\text{ und }}\left|{\frac {(n+1)!n^{n}}{(n+1)^{(n+1)}n!}}\right|<\Theta$

Also zu zeigen:

$b_{n}:={\frac {n^{n}}{(n+1)^{n}}}<\Theta$

Zeige hierzu zwei Dinge:

Erstens: $b_{1}={\frac {1}{2}}$ durch Einsetzen sofort klar.

Zweitens: $b_{n+1}<b_{n}$

Also zu zeigen:

${\frac {(n+1)^{n+1}}{(n+2)^{n+1}}}<{\frac {n^{n}}{(n+1)^{n}}}$

Also zu zeigen:

${\frac {n+1}{n+2}}\left({\frac {(n+1)(n+1)}{n(n+2)}}\right)^{n}<1$

Also zu zeigen:

${\frac {n+2}{n+1}}\left({\frac {n^{2}+2n}{n^{2}+2n+1}}\right)^{n}>1$

Also zu zeigen:

${\frac {n+2}{n+1}}\left(1-{\frac {1}{(n+1)^{2}}}\right)^{n}>1$ (*)

Wende Bernoullische Ungleichung an:

$\left(1-{\frac {1}{(n+1)^{2}}}\right)^{n}\geq 1-{\frac {n}{(n+1)^{2}}}$

Also folgt:

${\frac {n+2}{n+1}}\left(1-{\frac {1}{(n+1)^{2}}}\right)^{n}\geq {\frac {n+2}{n+1}}\left(1-{\frac {n}{(n+1)^{2}}}\right)$

Und damit:

$(n+2){\frac {n^{2}+2n+1-n}{(n+1)^{3}}}={\frac {n^{3}+3n^{2}+3n+2}{n^{3}+3n^{2}+3n+1}}>1$

Damit ist (*) gezeigt. q.e.d.