Benutzer:Dirk Hünniger/jan 9 2P

Sei $A$ ein Endomorphismus auf einem zweidimensionalen Vektorraum $V$ über einem Körper $\mathbb {K}$. Dieser habe nur einen Eingenwert $\lambda$. Es gibt dann einen Eigenvektor $v_{1}\in V\backslash \left\{0\right\}$ mit $Av_{1}=\lambda v_{1}$. Ergänze diesen nun zu einer Basis von $V$ durch Hinzunahme eines Vektors $v_{2}$ nach dem Basisergänzungssatz. Die Matrixdarstellung von $A$ hat dann die Form:

$A=\left({\begin{matrix}\lambda &\alpha \\0&\beta \end{matrix}}\right)$

Das zu Bestimmung der Eingenwerte gleich 0 gesetzte charakteristische Polynom in der Unbekannten x ist dann:

$\left(\lambda -x\right)\left(\beta -x\right)=0$

Die möglichen Eingenwerte sind dann $x=\lambda$ und $x=\beta$. Da es aber nur einen Eingenwert geben darf muss $x=\lambda =\beta$ gelten. Somit gilt

$\left(A-\lambda \right)v_{2}=\left({\begin{matrix}0&\alpha \\0&0\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}0\\1\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}\alpha \\0\end{matrix}}\right)\in E_{\lambda }$

q.e.d.