Benutzer:Dirk Hünniger/lorentz

Ich versuche folgenden Abschnitt der deutschen Wikipedia nachzurechnen und bekomme es leider nur bis auf einen Faktor 2 hin.

Man lese folgenden Abschnitt der deutschen Wikipedia und betrachte anschliessend meine nachfolgende Rechnung. w:Spezielle_Relativitätstheorie#Lorentzkraft

Angenommen ein magnetisches Feld werde durch die Bewegung von Ladungsträgern in einem geraden Leiter verursacht. Dann gibt es eine Konstante $k$ derart, dass der Strom im Leiter $I$ der Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger im Leiter $v$ proportional ist. Es gilt:

$I=k\cdot v$

Die Driftgeschwindigkeit liegt laut w:Driftgeschwindigkeit in der Grössenordnung von 0.1 mm/s. Somit können wir für den Rest dieses Dokuments annehmen das v viel kleiner ist als die Lichtgeschwindigkeit und entsprechende Taylorentwicklungen ansetzen.

Für das hierdurch entstehende Magnetfeld $H$ gilt nach w:Magnetische_Feldstärke#Gerader_Leiter:

$H={\frac {I}{2\pi r}}$

Für die magnetische Flussdichte gilt entsprechend w:Magnetismus#Größen_und_Einheiten:

$B=\mu _{0}H={\frac {\mu _{0}I}{2\pi r}}={\frac {\mu _{0}kv}{2\pi r}}$

Für die Lorentzkraft für eine ebenfalls mit $v$ bewegte Ladung $Q$ gilt wegen w:Lorentzkraft#Allgemeine_Definition:

$F=QvB={\frac {\mu _{0}Qkv^{2}}{2\pi r}}$

Für die elektrische Flussdichte $D$ einer homogen auf einem geraden Leiter der Länge $l$verteilten Ladung gilt (w:Maxwell-Gleichungen#Übersicht):

$2\pi rDl=q$

Man sieht dies indem man die Integralversion der ersten Maxwellgleichung anschaut:

$\oint _{\partial V}{\vec {D}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}=q$

und über einen Zylinder mit dem Leiter in der Mitte mit dem Radius r und der Länge l die Flächenintegration ausführt und die Kreisflächen am Anfang und Ende des Zylinders vernachlässigt. Die Oberfläche über die integriert wird ist gerade der Mantel des Zylinders ($\partial V=2\pi rl$ ). Da ${\vec {D}}$ senkrecht auf der Mantelfläche steht und konstant ist wird die Integration zur Multiplikation.

Somit gilt mit der Ladungsdichte $\rho$:

$\rho ={\frac {q}{l}}$

$D={\frac {\rho }{2\pi r}}$

wegen w:Elektrische_Feldstärke#Zusammenhang_mit_der_elektrischen_Flussdichte gilt für die elektrische Feldstärke:

$E={\frac {D}{\epsilon _{0}}}={\frac {\rho }{2\pi \epsilon _{0}r}}$

und entsprechend wegen w:Lorentzkraft#Allgemeine_Definition:

$F=Q\cdot E={\frac {\rho Q}{2\pi \epsilon _{0}r}}$

Wegen der Lorentzkontraktion w:Lorentz-Kontraktion#Die_Formel_in_allgemeiner_Form erhöht sich die Ladungsdichte um den Faktor $\gamma$ mit :

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

die neu hinzugekommene Ladungsdichte ist also:

$\triangle \rho =\rho _{0}(\gamma -1)=\rho _{0}\left({\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1\right)\approx \rho _{0}{\frac {1}{2}}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}$

wobei wir eine Taylorentwicklung w:Taylorreihe in ${\frac {v^{2}}{c^{2}}}$ um 0 durchgeführt haben.

Auch diese Taylorentwicklung wollen wir detailliert angeben.

Wir setzen $x:={\frac {v^{2}}{c^{2}}}$ und haben somit die Funktion:

$\gamma (x)=\left(1-x\right)^{-{\frac {1}{2}}}$

Man sieht sofort:

$\gamma (0)=1$

Für die erste Ableitung hat man nach Kettenregel und Potenzregel:

$\gamma '(x)=-{\frac {1}{2}}\cdot \left(1-x\right)^{-{\frac {3}{2}}}\cdot \left(-1\right)$

somit

$\gamma '(0)={\frac {1}{2}}$

Und somit für die Taylorreihe bis zur ersten Ordnung:

$\gamma (x)\approx \gamma (0)+\gamma '(0)\cdot x=1+{\frac {1}{2}}x$

Somit ist gezeigt dass:

$\gamma -1\approx {\frac {1}{2}}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}$

Wegen w:Lichtgeschwindigkeit gilt:

${\frac {1}{c^{2}}}=\epsilon _{0}\mu _{0}$

Einsetzen liefert:

$F={\frac {\triangle \rho Q}{2\pi \epsilon _{0}r}}={\frac {\mu _{0}\rho _{0}v^{2}Q}{4\pi r}}$

Wegen:

$F={\frac {\mu _{0}Qkv^{2}}{2\pi r}}$

folgt:

${\frac {\mu _{0}Qkv^{2}}{2\pi r}}={\frac {\mu _{0}\rho _{0}v^{2}Q}{4\pi r}}$

und somit:

$k={\frac {\rho _{0}}{2}}$

Merkwürdig: Ich hätte $k=\rho _{0}$ erwartet.

Franks Korrekturvorschlag

Die Idee ist $\rho$ und $\gamma$ als Funktionen von v aufzufassen.

$\rho (v)=\rho _{0}\gamma (v)$

$\triangle \rho \approx \rho _{0}\gamma '(0)\cdot v$

$\gamma (v)=\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}$

$\gamma '(v)=-{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-{\frac {3}{2}}}\left(-{\frac {2v}{c^{2}}}\right)$

$\gamma '(0)=0$

$\triangle \rho =0$

wird leider auch nichts.

Alternativ könnte man $\gamma$ noch eine Ordnung weiter entwickeln.

$\gamma ''(v)=-{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-{\frac {3}{2}}}\left(-{\frac {2}{c^{2}}}\right)-{\frac {3}{4}}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-{\frac {5}{2}}}\left(-{\frac {2v}{c^{2}}}\right)^{2}$

Somit:

$\gamma ''(0)={\frac {1}{c^{2}}}$

Und dann:

$\triangle \rho \approx \rho _{0}\gamma '(0)\cdot v+{\frac {1}{2}}\gamma ''(0)\rho _{0}v^{2}={\frac {v^{2}}{2c^{2}}}$

womit wir wieder bei meinem Ergebnis von oben wären. Das Problem ist somit noch nicht gelöst.

Ideen nach Gluedrops Korrekturvorschlag

Wir gehen in das Bezugssystem indem Q ruht. Dort haben wir die Kraft aufgrund des elektrischen Feldes des lorenzkontrahierten Leiters:

$F_{\text{Q}}=Q\cdot E={\frac {\rho Q}{2\pi \epsilon _{0}r}}$

mit

$\rho =\rho _{0}\gamma$

also

$F_{\text{Q}}=Q\cdot E={\frac {\rho _{0}\gamma Q}{2\pi \epsilon _{0}r}}$

Diese wirkt aber im Bezugssystem in dem Q ruht. Wenn wir sie im Laborsystem in wo der Leiter ruht bestimmen wollen gilt:

$F_{\text{Q}}=m_{\text{Q}}\cdot {\frac {d^{2}s_{\text{Q}}}{dt_{\text{Q}}^{2}}}$

$s$ steht senkrecht auf der Bewegungsrichtung zwischen den beidem Bezugssystemen bleibt also invariant. Die Masse $m_{\text{Q}}$ wird wegen der Bewegung grösser und zwar um den Faktor $\gamma$. Gleichzeitig kommt es zur Zeitdilatation. Also wird t um den Faktor $\gamma$ grösser.

Damit haben wir dann im Laborsystem

$F_{\text{Q}}={\frac {1}{\gamma }}m\cdot {\frac {d^{2}s_{\text{Labor}}}{dt_{\text{Labor}}^{2}}}={\frac {1}{\gamma }}F_{\text{Labor}}$

Und damit

$F_{\text{Labor}}={\frac {\rho _{0}\gamma ^{2}Q}{2\pi \epsilon _{0}r}}$

Was dem gewünschten Ergebnis entspricht.