Benutzer:Dirk Hünniger/math

Hallo, ich versuche gerade eine Aufgabe aus dem LA 1 Buch von Fischer zu rechnen. Zu zeigen ist das für jede nicht leere Menge M gilt: die Menge der Abbildungen von M nach {0,1} ist nicht gleichmächtig zur Menge M selbst.

Hierzu versuche ich einen Beweis mit Widerspruch. Ich nehme an es gäbe eine bijektive Abbildung f von M nach Abb(M,{0,1}) und führe dies zu einem Wiederspruch. Die Funktion f liefert mir für jedes m eine Funktion $g_{m}\in Abb(M,\{0,1\})$ Ich definiere nun eine Funktion $k\in Abb(M,\{0,1\})$

$k(m):={\begin{cases}0,{\text{ falls }}g_{m}(m)=1\\1{\text{ sonst }}\end{cases}}$

Das f surjektiv sein sollte, muss es ein $n\in M$ geben, so dass gilt

$k=f(n)$

Hierbei handelt es sich um die Gleichheit zweier Funktionen. Wir können diese Funktionen an der Stelle n auswerten.

$k(n)=f(n)(n)$

Für die Rechte Seite gilt offenbar

$f(n)(n)=g_{n}(n)$

Für die Linke Seite ist aber

$k(n)={\begin{cases}0,{\text{ falls }}g_{n}(n)=1\\1{\text{ sonst }}\end{cases}}$

Somit liegt ein Widerspruch vor. Daher kann es eine solche Funktion f nicht geben. Viele Grüße Dirk Hünniger 15:14, 6. Okt. 2017 (CEST)