Benutzer:Dirk Huenniger/Optik

Beugung

Die Amplitude $A (𝐫)$ an einem Ort ist die Summe der Amplituden der einfallenden Wellen. Wobei die Wellen vom Orte ihres Entstehens $𝐱$ zum Orte ihres Beobachtung $𝐫$ eine Strecke $| 𝐫 - 𝐱 |$ durch den Raum zurücklegen wobei Sie ihre Amplitude und Phase ändern. Diese Änderung soll durch den noch näher anzugebenden Faktor $ϕ (| 𝐫 - 𝐱 |)$ berücksichtigt werden.

A (𝐫) = \int_{𝐱 \in ℝ^{3}} A (𝐱) ϕ (| 𝐫 - 𝐱 |)

Es hat sich gezeigt, dass der Faktor $ϕ$ die folgende Form hat:

ϕ (| 𝐫 - 𝐱 |) = \frac{1}{{| 𝐫 - 𝐱 |}^{2}} \exp (i \frac{2 π}{λ} | 𝐫 - 𝐱 |)

Wobei $π$ die Kreiszahl und $λ$ die Wellenlänge bezeichnet. Man kann diese Gleichungen aus algemeineren Überlegungen gewinnen. Hier sollen sie jedoch als gegeben hingenommen werden.

$\int_{a}^{b} e^{i k x} = \frac{1}{i k} (e^{i k a} - e^{i k b})$ $= \frac{2}{k} e^{i k (a + \frac{b - a}{2}))} \frac{1}{2 i} (e^{i k \frac{b - a}{2}} - e^{- i k \frac{b - a}{2}})$ $= \frac{2}{k} \sin (\frac{b - a}{2}) e^{i k (a + \frac{b - a}{2}))}$