Benutzer:Dirk Huenniger/Optik

Beugung

Die Amplitude $A(\mathbf {r} )$ an einem Ort ist die Summe der Amplituden der einfallenden Wellen. Wobei die Wellen vom Orte ihres Entstehens $\mathbf {x}$ zum Orte ihres Beobachtung $\mathbf {r}$ eine Strecke $\left|\mathbf {r} -\mathbf {x} \right|$ durch den Raum zurücklegen wobei Sie ihre Amplitude und Phase ändern. Diese Änderung soll durch den noch näher anzugebenden Faktor $\phi (\left|\mathbf {r} -\mathbf {x} \right|)$ berücksichtigt werden.

$A(\mathbf {r} )=\int _{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}}A(\mathbf {x} )\phi (\left|\mathbf {r} -\mathbf {x} \right|)$

Es hat sich gezeigt, dass der Faktor $\phi$ die folgende Form hat:

$\phi (\left|\mathbf {r} -\mathbf {x} \right|)={\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {x} \right|^{2}}}\exp \left(i{\frac {2\pi }{\lambda }}\left|\mathbf {r} -\mathbf {x} \right|\right)$

Wobei $\pi$ die Kreiszahl und $\lambda$ die Wellenlänge bezeichnet. Man kann diese Gleichungen aus algemeineren Überlegungen gewinnen. Hier sollen sie jedoch als gegeben hingenommen werden.

$\int _{a}^{b}e^{ikx}={\frac {1}{ik}}\left(e^{ika}-e^{ikb}\right)$$={\frac {2}{k}}e^{ik\left(a+{\frac {b-a}{2}})\right)}{\frac {1}{2i}}\left(e^{ik{\frac {b-a}{2}}}-e^{-ik{\frac {b-a}{2}}}\right)$$={\frac {2}{k}}\sin \left({\frac {b-a}{2}}\right)e^{ik\left(a+{\frac {b-a}{2}})\right)}$