Benutzer:Dirk Huenniger/cast

Wir betrachten einen Balken auf zwei Stützen. Er verlaufe waagerecht von links nach rechts. Er beginne am Punkt A und ende am Punkt B und sei in diesem Punkten gelagert. Die x-Achse verlaufe waagerecht von links nach rechts, die y-Achse hierzu senkrecht von unten nach oben. Das Zentrum des Koordinatensystems sei in A. Die Lager seien nicht in der Lage Drehmomente aufzunehmen. Das Lager in B sei in der Lage Kräfte in beliebiger Richtung auszunehmen. Das Lager in A möge nur in y-Richtung aufnehmen, jedoch keine anders gerichteten. Der Balken habe die Länge 1. In der Mitte greife eine Kraft $F_{\mathrm {L} }$ an, welche entgegen der y Achse gerichtet sei. Dies wird durch die Vorzeichenwahl $F_{\mathrm {L} }<0$ verdeutlicht. Der Betrag dieser Kraft sei 1. Demnach $F_{\mathrm {L} }=-1$. Wegen der theoretischen Natur dieser Abhandlung verzichten wir auf die explizite Angabe von Einheiten. Offenbar ergeben sich in A und B die Lagerreaktionskräfte $F_{\mathrm {A} }=F_{\mathrm {B} }={\frac {1}{2}}$

Wir berechnen die Durchbiegung des Balkens sowie die Steigung der Biegelinie in einer Umgebung von B mit Hilfe des Satzes von Castigliano. Er lautet:

$\left[{\frac {\partial W}{\partial F_{\mathrm {h} }}}\right]_{F_{\mathrm {h} }=0}=\triangle y$

Hierbei ist $W$ die im Balken gespeicherte Bierenergie. $F_{\mathrm {h} }$ ist eine sogenannte Hilfskraft. Sie wird an einem beliebigen Punkt auf den Balken aufgebracht und wirkt in y-Richtung. Der Balken verformt sich elastisch durch das Einwirken dieser Kraft. Hierbei nimmt er Biegeenergie auf. Somit ist die im Balken enthaltene Biegeenergie eine Funktion von $F_{\mathrm {h} }$. Als Formel schreibt man somit $W(F_{\mathrm {h} })$. Durch Differenziation nach $F_{\mathrm {h} }$ erhält man:

${\frac {\partial W}{\partial F_{\mathrm {h} }}}$

Dies ist wiederum eine Funktion, welche von $F_{\mathrm {h} }$ abhängt. Diese kann man an der Stelle $F_{\mathrm {h} }=0$ auswerten. Hierfür schreiben wir:

$\left[{\frac {\partial W}{\partial F_{\mathrm {h} }}}\right]_{F_{\mathrm {h} }=0}$

Die Aussage des Satzes von Castigliano ist nun, dass dieser Ausdruck gleich der Durchbiegung im Angriffspunkt von $F_{\mathrm {h} }$ ist. Die Biegeenergie eines eines Balkens hat die Form:

$\int \limits _{0}^{1}{\frac {M(x)^{2}}{2EI}}\mathrm {d} x$

Hierbei ist E eine Konstante die die Elastizität des Materials des Balkens beschreibt, sie heißt Elastizitätsmodul und ist in der Literatur für sehr viele Materialien angegeben, ferner kann sie experimentell bestimmt werden. I ist ebenfalls eine Konstante und beschreibt im Wesentlichen die Dicke des Balkens, sie heißt Flächenträgheitsmoment. Betrachtet man den unverformten Balken so kann man seine Querschnittsfläche $Q$ senkrecht zur x-Achse betrachten. $Q$ ist somit eine Teilmenge des $\mathbb {R} ^{2}$. Es gilt:

$I=\int _{Q}y^{2}\ \mathrm {d} Q$

Die Lösungen dieses Integrals sind für sehr viele Fälle in einschlägigen Tabellenwerken nachzulesen. Die Funktion $M$ nennt man Biegemomentenverlauf. Wir brachten einen Balken auf den mehrere Kräfte $F_{i}$ an ihren Angriffspunkten $x_{i}$ in y Richtung einwirken. Der Biegemomentenverlauf ergibt sich in diesem Falle zu:

$M(x)=\sum _{I^{*}(x)}F_{i}\left(x-x_{i}\right)$

Die Summe läuft über alle Kräfte für die $x_{i}<x$ gilt. Für nicht diskrete Kraftverläufe gibt es eine offensichtliche Erweiterung die hier jedoch nicht notwendig ist. Wir erweitern unser System um eine Hilfskraft $F_{\mathrm {h} }$ die an einem Punkt $x_{\mathrm {h} }$ in y-Richtung auf unseren Balken einwirkt. Es gelte ${\frac {1}{2}}<x_{\mathrm {h} }\leq 1$. In unserem Falle ergibt sich der Biegemomentenverlauf zu:

$M(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}x&{\text{falls }}0\leq x<{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}x-\left(x-{\frac {1}{2}}\right)&{\text{falls }}{\frac {1}{2}}\leq x<x_{h}\\{\frac {1}{2}}x-\left(x-{\frac {1}{2}}\right)+F_{\mathrm {h} }\left(x-x_{\mathrm {h} }\right)&{\text{falls }}x_{\mathrm {h} }\leq x\leq 1\end{cases}}$

Aus dem bisher Gesagten ergibt sich nach kurzer Rechnung:

${\frac {\partial W}{\partial F_{\mathrm {h} }}}={\frac {1}{EI}}\int \limits _{0}^{1}M(x){\frac {\partial M(x)}{\partial F_{\mathrm {h} }}}\mathrm {d} x$

Dies werten wir weiter aus zu:

$EI{\frac {\partial W}{\partial F_{\mathrm {h} }}}=\int \limits _{x_{\mathrm {h} }}^{1}\left(\left(F_{\mathrm {h} }-{\frac {1}{2}}\right)x+{\frac {1}{2}}-x_{\mathrm {h} }\right)\left(x-x_{\mathrm {h} }\right)\mathrm {d} x$

Für den Fall $F_{\mathrm {h} }=0$ vereinfacht sich dies zu:

$EI\left[{\frac {\partial W}{\partial F_{\mathrm {h} }}}\right]_{F_{\mathrm {h} }=0}=\int \limits _{x_{\mathrm {h} }}^{1}\left(-{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{2}}-x_{\mathrm {h} }\right)\left(x-x_{\mathrm {h} }\right)\mathrm {d} x$

Ausführen der Integration ergibt:

$EI\left[{\frac {\partial W}{\partial F_{\mathrm {h} }}}\right]_{F_{\mathrm {h} }=0}=\left[-{\frac {1}{6}}x^{3}+{\frac {1}{2}}x^{2}\left(-{\frac {1}{2}}x_{\mathrm {h} }+{\frac {1}{2}}\right)+x\left(x_{\mathrm {h} }^{2}-{\frac {1}{2}}x_{\mathrm {h} }\right)\right]_{x_{\mathrm {h} }}^{1}$

und somit:

$EI\left[{\frac {\partial W}{\partial F_{\mathrm {h} }}}\right]_{F_{\mathrm {h} }=0}=x_{\mathrm {h} }^{3}\left(+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{4}}-1\right)+x_{\mathrm {h} }^{2}\left(-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{2}}+1\right)+x_{\mathrm {h} }\left(-{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{6}}$

Die lässt sich zusammenfassen zu:

$EI\left[{\frac {\partial W}{\partial F_{\mathrm {h} }}}\right]_{F_{\mathrm {h} }=0}=-{\frac {7}{12}}x_{\mathrm {h} }^{3}+{\frac {15}{12}}x_{\mathrm {h} }^{2}-{\frac {9}{12}}x_{\mathrm {h} }+{\frac {1}{12}}$

Offenbar gilt im Falle $x_{\mathrm {h} }=1$:

$EI\left[{\frac {\partial W}{\partial F_{\mathrm {h} }}}\right]_{F_{\mathrm {h} }=0,x_{\mathrm {h} }=1}=0$

Die Durchbiegung in B ist also 0. Ferner ergibt sich für die Steigung der Biegelinie:

$EI{\frac {\partial }{\partial x_{\mathrm {h} }}}\left[{\frac {\partial W}{\partial F_{\mathrm {h} }}}\right]_{F_{\mathrm {h} }=0}=-{\frac {21}{12}}x_{\mathrm {h} }^{2}+{\frac {30}{12}}x_{\mathrm {h} }-{\frac {9}{12}}$

Offenbar gilt im Falle $x_{\mathrm {h} }=1$:

$EI\left[{\frac {\partial }{\partial x_{\mathrm {h} }}}\left[{\frac {\partial W}{\partial F_{\mathrm {h} }}}\right]_{F_{\mathrm {h} }=0}\right]_{x_{\mathrm {h} }=1}=0$

Die Steigung der Biegelinie im Punkt B ist daher 0. Dies war zu zeigen.