Benutzer:Dirk Huenniger/fun

Hier sollen Relationen vollständig definiert sein in dem Sinne dass bei jeder Relation $R\subset A\times B$ gilt: $\forall a\in A:\exists b\in B:(a,b)\in R$ Wobei auch mehrere $b's$ existieren dürfen.

Seien $A$ und $A'$ zwei Mengen.

Sei ${\mathcal {A}}\subset A\times A'$ eine Relation.

Seien $B$ und $B'$ zwei Mengen.

Sei ${\mathcal {B}}\subset B\times B'$ eine Relation.

Sei $A\rightarrow B$ die Menge der Funktionen von $A$ nach $B$.

Sei $A'\rightarrow B'$ die Menge der Funktionen von $A'$ nach $B'$.

Sei ${\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}\subset \left(A\rightarrow B\right)\times \left(A'\rightarrow B'\right)$ eine Relation die definiert ist durch:

$(f,f')\in {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ genau dann wenn für alle $(a,a')\in {\mathcal {A}}$ gilt $(fa,fa')\in {\mathcal {B}}$

Sei $\beta (x):=\left\{b'\in B',(fx,b')\in {\mathcal {B}}\right\}$

Sei $\gamma (x):=\left\{b'\in B',\exists x'\in A',(x,x')\in {\mathcal {A}},\exists f'\in A'\rightarrow B',(f,f')\in {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}:f'a'=b'\right\}$

Es ist zu zeigen: $\forall x\in A:\beta (x)=\gamma (x)$