Benutzer:Dirk Huenniger/gleich

Eine Norm heist von einem Skalarprodukt induziert falls gilt:

$\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$

Wir bertrachten $\mathbb {R} ^{n}$ oder $\mathbb {C} ^{n}$ Wir wollen zeigen das es zu jeder Norm ein solches Skalarprodukt gibt falls die Norm das Paralleogrammgesetz erfüllt:

$\|x+y\|+\|x-y\|=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}$

Hierzu definieren wir

$\langle x,y\rangle =\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}$

Nun wollen wir versuchen zu zeigen dass es sich hierbei in der Tat um ein Skalarprodukt handelt.

Die Symmetrie ist klar. Die positive Definiertheit ergibt sich aus:

$\langle x,x\rangle =4\|x\|^{2}-\|x\|^{2}-\|x\|^{2}\geq 0$

$\langle 0,0\rangle =4\|0\|^{2}-\|0\|^{2}-\|0\|^{2}=0$

$\langle x,x\rangle =0\Rightarrow 2\|x\|=0\Rightarrow x=0$

Somit verbleibt die Frage nach der Linearität:

Hierzu zeigen wir zuerst

$\langle x+a,y\rangle +\langle x-a,y\rangle =2\langle x,y\rangle$ (1)

Es ist (wobei wir im zweiten Schritt die Parralellogrammgleichung benutzen)

$\langle x+a,y\rangle +\langle x-a\rangle =\|x+y+a\|^{2}-\|x+a\|^{2}-\|y\|^{2}+\|x+y-a\|^{2}-\|x-a\|^{2}-\|y\|^{2}$

$=2\|x+y\|^{2}+2\|a\|^{2}-2\|a\|^{2}-2\|x\|^{2}-\|y\|^{2}-\|y\|^{2}$

womit (1) gezeigt ist.

Weiterhin ist.

$\langle x,-y\rangle =\|x-y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}=-\|x+y\|^{2}+\|x\|^{2}+\|y\|^{2}=-\langle x,y\rangle$ (2)

wobei wir die Paralleogramgleichung benutzt haben.

Weiterhin folgt aus (1):

$\langle a+x,y\rangle +\langle a-x,y\rangle =2\langle a,y\rangle$

Addieren wir hierzu (1):

$2\langle a+x,y\rangle =2\langle a,y\rangle +2\langle x,y\rangle$ (3)

womit der erste Teil der Linearität geklärt wäre.

Es bleibt also nur die Multiplikation mit Konstanten. Wegen (3) ist die Multplikation mit natürlichen Zahlen kein Problem und wegen (2) auch nicht die mit ganzen. Analog auch die mit rationalen. Für die reellen denke ich das es für jede Reelle Zahl eine folge rationaler Zahlen gibt, die gegen sie konvergiert. Auf jedes dieser könnte man das bisher gezeigte gliedweise anwenden und die aussage somit zweigen.

Offenbar nimmt unser Skalarprodukt nur reelle Werte an, somit können wir unsere bisherigen Ausführungen nur für Vektorräume über den reellen Zahlen gelten. Im Komplexen Fall definieren wir als Skalarprodukt:

$\langle x,y\rangle =\|x+y\|^{2}+i\|x+iy\|^{2}-\|x-y\|^{2}-i\|x-iy\|^{2}$

postive Definitheit:

$\langle x,y\rangle =2\|x\|^{2}+i\|x+ix\|^{2}-i\|-i(ix+x)\|^{2}=2\|x\|^{2}$

ergibt sich somit trivial aus der positiven Definitheit der Norm.

Symmetrie ergibt sich aus:

$\langle y,x\rangle =\|x+y\|^{2}+i\|y+ix\|^{2}-\|y-x\|^{2}-i\|y-ix\|^{2}=\|x+y\|^{2}+i\|-i(-iy+x)\|^{2}-\|-1(x-y)\|^{2}-i\|-i(iy+x)\|^{2}={\overline {\langle x,y\rangle }}$

Die Gültigkeit von (1) rechnet man leicht nach. Weiterhin ist:

$\langle -x,y\rangle =\|-x+y\|^{2}+i\|-x+iy\|^{2}-\|-x-y\|^{2}-i\|-x-iy\|^{2}=\|(-1)(x-y)\|^{2}+i\|(-1)(x-iy)\|^{2}-\|(-1)(x+y)\|^{2}-i\|(-1)(x+iy)\|^{2})=-\langle x,y\rangle$

Damit ist (3) gezeigt. Die Homogenität für reelle Konstanten ergibt sich wie oben.

Man überzeugt sich ferner leicht das:

$\langle ix,y\rangle =i\langle x,y\rangle$

Woraus sich die Homogenität für komplexe Konstanten ergibt. q.e.d.