Benutzer:Dirk Huenniger/könig/kompakt

Ich zeige dass die Bilder stetiger Abbildungen von kompakten Mengen kompakt sind. Eine Menge ist kompakt wenn sie die Heine Borelsche Überdeckungeingenschaft besitzt. Wir betrachen das Bild B eine Stetigen Funktion f. Sei D irgendeine offene Überdeckung von B. Dann wählen wir aus D die offenen Mengen $D_{i}$ aus die mit B einen nicht leeren Schnitt haben. Jedes $D_{i}$ besitzt wegen der Stetigkeit von f ein offenes Urbild $U_{i}$ unter f. Die $U_{i}$ bilden eine offene Überdeckung des Urbildes U von f. Wegen der Kompaktheit von U können wir endlich viele $U_{i}$ auswählen die U noch vollständig überdecken. Deren zugehörige Bilder $D_{i}$ überdecken jedoch B vollstendig uns sind ferner endlich viele. Damit ist eine endliche Teilüberdeckung von B gefunden und somit die Kompaktheit von B gezeigt.