Benutzer:Dirk Huenniger/max

Die Maxwell Gleichungen lauten:

$\nabla \times \mathbf {H} ={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {j}$

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho$

$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$

$\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\,\mathbf {E} +\mathbf {P} \,(=\varepsilon \,\mathbf {E} )$

$\mathbf {B} =\mu _{0}\,(\mathbf {H} +\mathbf {M} )\,(=\mu \,\mathbf {H} )$

Vereinfachen (im linearen Fall):

$\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {\partial \epsilon \mu \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {j}$

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

$\nabla \cdot \epsilon \mathbf {E} =\rho$

$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$

Gegeben seien die Felder:

$\rho (\mathbf {x} ,t)$

$\mathbf {j} (\mathbf {x} ,t)$

Gesucht sind die Felder:

$\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)$

$\mathbf {B} (\mathbf {x} ,t)$

Rotation auf die oberen beiden:

$-\nabla ^{2}B={\frac {\partial \epsilon \mu \nabla \times \mathbf {E} }{\partial t}}+\nabla \times \mathbf {j}$

$\nabla \cdot \mathbf {\rho } -\nabla ^{2}\epsilon E=-\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

Einsetzen

$-\nabla ^{2}B=-{\frac {\partial ^{2}\epsilon \mu \mathbf {B} }{\partial t^{2}}}+\nabla \times \mathbf {j}$

$\nabla \cdot \mathbf {\rho } -\nabla ^{2}\epsilon E=-{\frac {\partial ^{2}\mu \epsilon \mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\nabla \times \mathbf {j}$

Im Fall der Quellenfreiheit sehen wir Wellengleichungen. Ferner erkennen wir das die Ladungsdichte als Quelle des Elektrischen, jedoch nicht des magnetischen Feldes dient. Weiterhin ekennen wir die Stromdichte als Quelle sowohl des elektischen als auch des magnetischen Feldes.

Die beiden gleichungen haben jeweils die Form:

$\square \mathbf {R} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {S} (\mathbf {x} ,t)$

Offenbar ist

$\square \mathrm {exp} \left(i\left(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t\right)\right)=-(\mathbf {k} ^{2}-\omega ^{2})\mathrm {exp} \left(i\left(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t\right)\right)$

Die ist eine Eingenwertgleichung. Wir haben eine Basis aus Eigenvektoren. Schauen wir uns eine Punktladung an die aus dem nichts auftaucht und wieder verwindet so haben wir eine vierdimensionale Deltadistribution. Die Entwicklung nach der Basis ist gerade die Fourriertransfomation. Das Ergebnis also die Konstante. Operator drauf anwenden gibt eine Parabel. Lösung muss reell sein. Also sinus. Nach einem online Mathe Tool gilt:

$\int k^{2}\mathrm {sin} (kx)dk={\frac {2k\mathrm {sin} (kx)}{x^{2}}}-{\frac {(k^{2}x^{2}-2)\mathrm {cos} (kx)}{x^{3}}}$

Fernfeld näherung des harmoischen Oszillators ist hier deutlich sichbar.