Benutzer:Dirk Huenniger/neck

Wie viele Diagonalen hat ein n-Eck. Dazu definieren wir zuerst DirkGonale. Da n-Eck hat Rand-Linien und davon genau n Stück. Jede Linie die entweder eine Diagonale oder eine Rand-Linie ist, soll DirkGonale heißen. Offenbar ist die Anzahl der Diagonalen gleich der Anzahl der DirkGonalen abzüglich n. Nun zählen wir die DirkGonalen. Wir fangen an einer Ecke an, dort gibt es n-1 DirkGonalen, die dort enden. Dann gehen wir zu Ecke rechts daneben. Dort gibt es wieder n-1 DirkGonalen. Davon haben wir eine schon gezählt und zwar die Rand-Linie welche, die beiden bisher betrachteten Ecken verbindet. Dementsprechend finden wir hier nur noch n-2 neue DirkGonalen. An der nächsten Ecken offenbar nur noch n-3 usw. Damit ergibt sich für die Anzahl z der DirkGonalen

$z=\sum _{i=0}^{n-1}i$

Dies ist die arithmetische Reihe, demnach $z={\frac {n\cdot (n-1)}{2}}$. Hiervon haben wir noch die Anzahl der Rand-Linien zu subtrahieren um die Anzahl der Diagonalen d zu erhalten.

$d={\frac {(n-3)\cdot n}{2}}$