Benutzer:Dirk Huenniger/offen

Sei $V$ eine offene Menge auf dem $\mathbb {R} ^{n}$. Wir wollen zeigen das es abzählbar viele Mengen $M_{i}$ mit $i\in \mathbb {N}$ gibt so dass für deren Vereinigung $W:=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }M_{i}$ gilt $V=W$. Hierzu betrachten wir die Menge der Tupel $T_{n}$ mit n Elementen aus $\mathbb {Z}$. Offenbar ist $T_{n}$ abzählbar. Wir definieren eine Abbildung $\phi _{nm}$ von $T_{n}$ in die offenen Quader auf $\mathbb {R} ^{n}$. Sei also $x=(x_{1},\dots ,x_{n})\in T_{n}$. Wir definieren zunächst eine Abbildung von $\mathbb {Z}$ in die offenen Intervalle auf $\mathbb {R}$ durch $\kappa _{m}(z):=\left]{\frac {z}{m}}-{\frac {0.1}{m}},{\frac {z}{m}}+{\frac {1.1}{m}}\right[$. Und nun $\phi _{nm}(x):=\kappa _{m}(x_{1})\times \kappa _{m}(x_{2})\times \dots \times \kappa _{m}(x_{n})$. Offenbar gilt: $\mathbb {R} ^{n}=\bigcup _{x\in T_{n}}\phi _{nm}(x)$. Nun betrachten wie $H_{nm}(V):=\left\{\phi _{nm}(x),(x\in T_{n})\wedge \phi _{nm}(x)\subset V\right\}$ Wegen der Abzählbarkeit von $T_{n}$ ist auch $H_{nm}(V)$ abzählbar. Nun definieren wir $G_{n}(V):=\left\{x,(x\in H_{nm}(V),m\in \mathbb {N} ^{+})\right\}$. Offenbar ist auch $G_{n}(V)$ abzählbar. Sei $E_{n}(V):=\bigcup {p\in G_{n}(V)}$. Es ist klar das $E_{n}(V)\subset V$. Da $V$ offen ist gibt es für jeden Punkt $q$ in $V$ einen offener Quader $Q_{\epsilon }(q)$ der Kantenlänge $\epsilon >0$ um $q$ der vollständig in V enthalten ist. Wählt man $m$ so groß das ${\frac {\epsilon }{10}}>{\frac {1}{m}}$ so existiert ein $x\in T_{n},\phi _{nm}(x)Q_{\epsilon }(q)\subset$. Somit ist $q\in E_{n}(V)$ und somit $V\in E_{n}(V)$. Also $E_{n}(V)=V$. q.e.d.