Benutzer:Dirk Huenniger/prim

Sei $\mathbb {P}$ die Menge der Primzahlen. Wann gilt

$p^{2}+2\in \mathbb {P}$ ?

Diese Aussage ist offenbar für $p=3$ richtg. Und für $p=2$ falsch.

In allen anderen Fällen ist $p^{2}$ jedenfalls ungerade. Und somit auch $p^{2}+2$. Weiterhin ist $p$ nicht durch $3$ teilbar. Die fragliche Zahl erfüllt offenbar.

$6n+5=p^{2}$

Experimentell ergibt

from math import *
for i in range (100000):
  if (sqrt(6*i+5.) - trunc(sqrt(6*i+5.)))>0.0001:
    None
  else:
    print i,(sqrt(6*i+5.) - trunc(sqrt(6*i+5.)))

dass es keine natürliche Zahl p mit dieser Eigenschaft gibt.

Ich kann jede natürliche Zahl $k$ schreiben als:

$k=6n+d,n\in \mathbb {N} ,d\in {0,1,2,3,4,5}$

Sei $k$ nun das Quadrat eine Primzahl $p$. Es gibt eine natürliche Zahl $n$ so dass gilt

$(p-1)(p+1)=6n$

Weil p-1 gerade ist und eine der drei aufeinanderfolgenden Zahlen {p-1,p,p+1} durch 3 teilbar sein muss, p selbst als Primzahl jedoch ausscheidet. Es ist also:

$p^{2}=6n+1$

Damit ist der Satz bewiesen.